¿Si $A$ y $B$ están positivas definida, entonces es $B^{-1} - A^{-1}$ positive semidefinite?

Question

He encontrado esto buscando en google, mientras algunas propiedades de positivo semidefinite matrices. (Por desgracia, no recuerdo donde, que yo he descubierto.) Si esto es cierto, se va a ahorrar mucho tiempo en mi trabajo. Es esto cierto? ¿Cómo se puede demostrar?

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Digamos que tengo dos real y simétrica positiva definida matrices $\mathbf A$ $\mathbf B$ del mismo tamaño. Supongamos también que el $\mathbf A - \mathbf B$ es positivo semidefinite demasiado. A continuación, $\mathbf B^{-1} - \mathbf A^{-1}$ también es positiva semidefinite.

Answer 1

Sí. Aquí está una manera de demostrar que:

Desde $A-B\geq0$, tenemos (conjugando con $B^{-1/2}$) que $B^{-1/2}AB^{-1/2}-I\geq0$. Esto indica que todos los valores propios de la matriz definida positiva $B^{-1/2}AB^{-1/2}$ son $\geq1$.

Ahora tenga en cuenta que $B^{-1/2}AB^{-1/2}=(B^{-1/2}A^{1/2})(A^{1/2}B^{-1/2})$. Puesto que el producto de dos matrices de trayecto no cambia los valores propios, obtenemos que el $A^{1/2}B^{-1/2}B^{-1/2}A^{1/2}=A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ tiene también los valores propios $\geq1$. Tan $$ A ^ {1/2} B ^ {-1} A ^ {1/2}-I\geq0. $$ Ahora conjugar con $A^{-1/2}$ obtenemos $B^{-1}-A^{-1}\geq0$.

Answer 2

Me gusta Martin Argerami la respuesta mejor, pero aquí es un enfoque ligeramente diferente que no uso que el cero autovalores de a $CD$ son los mismos que los de $DC$.

Nota: este enfoque se aplica pie de la letra para el caso más general de una $C^*$-álgebra. Tenga en cuenta también que, en vista de la noción de operador de monotonía de la función, podríamos interpretar este resultado como diciendo que $x\longmapsto x^{-1}$ es el operador de nonincreasing.

El extenso párrafo siguiente muestra que asumimos $B=I_n$ sin pérdida de generalidad. Entonces es obvio.

Desde $B$ es positiva definida, tenemos a su raíz cuadrada $B^{1/2}$ que también es positiva definida con positiva definida inverso $B^{-1/2}$. Ahora desde $A-B$ es positivo semidefinite, por lo que es $B^{-1/2}(A-B)B^{-1/2}=B^{-1/2}AB^{-1/2}-I_n=A_0-I_n$. Y para demostrarlo $B^{-1}-A^{-1}$ positivo semidefinite es equivalente a probar $B^{1/2}(B^{-1}-A^{-1})B^{1/2}=I_n-A_0^{-1}$ es positivo semidefinite. Desde $A_0=B^{-1/2}AB^{-1/2}$ es todavía positiva definida, esto muestra que podemos suponer $B=I_n$ withtout pérdida de generalidad.

Ahora, utilizando la notación habitual $C\geq D$ para matrices simétricas a decir que $C-D$ es positivo semidefinite, o, equivalentemente, que el espectro de $C-D$ es no negativo, obtenemos $$ A-I_n\geq 0\Rightarrow a^{-1/2}(A-I_n)A^{-1/2}=I_n-A^{-1}\geq 0. $$ Así, el resultado que usted ha mencionado sostiene, junto, por supuesto, con su opuesto.

Answer 3

Permítanme ofrecer una constructivo de la prueba.

LEMA 1 Para invertible y simétrica matriz $A$, y los vectores $x$$y$, tenemos

$$ x^{'}^{-1}x = \underset{y}{max\, \, } 2{x}'y - {y}'Ay $$

LEMA 2 Para invertable matrices $A$$B$, tenemos

$$ (A + C) ^{-1} = A^{-1} - A^{-1} (A ^{-1} + C ^{-1}) ^{-1} A ^{-1} $$

TEOREMA Si $A > 0$, $B > 0$, ($A$ $B$ simétrica) y $A > B$,$A > B$.

Prueba Por el Lema 1, tenemos

$$x ^{'} ( B ^{-1} - A ^{-1} ) x = \underset{y}{max\, \, } 2{x}'y - {y}' ( B ^{-1} - A ^{-1} ) ^{-1} y$$

Deje $ y = A ^{-1} x $, tenemos $$ x ^{'} ( B ^{-1} - A ^{-1} ) x \ge 2x ^{'} A ^{-1} x - x ^{'} A ^{-1} ( B ^{-1} - A ^{-1} ) ^ {-1} A ^{-1} x $$

Entonces, por el Lema 2, tenemos

$$ x ^{'} ( B ^{-1} - A ^{-1} ) x \ge x ^{'} A ^{-1} x + x ^{'} ( A - B ) ^{-1} x $$

Por supuesto, $ A > 0 $, lo $ A ^{-1} > 0 $. También se $ A > B $, es decir,$ A - B > 0 $, lo $ (A - B ) ^ {-1} > 0$. Por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación anterior es mayor que 0, por lo $ B ^{-1} - A ^{-1} > 0 $, es decir,$ B ^{-1} > A ^{-1} $.