Me gustaría hacer el siguiente ejercicio :
Deje $f$ ser una función de meromorphic y $\mathcal{P}$ el conjunto de sus polos. Vamos a suponer también que $f$ ( $\forall z \in \mathbb{C}, \; f(z)=f(-z)$ ). Demostrar que $\mathcal{P}$ es simétrica con respecto a $0$ y que, si $a \in \mathcal{P}$ $\mathrm{Res}_{a}(f)$ denota el residuo de $f$$a$,$\mathrm{Res}_{-a}(f) = - \mathrm{Res}_{a}(f)$.
Yo : vamos a $a \in \mathcal{P}$ un polo de $f$ orden $k \in \mathbb{N}^{\ast}$. Desde $f$ es incluso, $f$ no está definido en $-a$ y para demostrar que $a$ es también un polo de $f$ orden $k$, tengo que demostrar que $(z+a)^{k}f(z)$ tiene un límite finito cuando $z \to -a$. Se sigue de :
$$ \begin{align*} \lim \limits_{z \to -a}(z+a)^{k}f(z) &= {} \lim \limits_{z \to -a}(-1)^{k}(-z-a)^{k}f(-z) \\[2mm] &= (-1)^{k}\lim \limits_{z \to a}(z-a)^{k}f(z) \\ \end{align*} $$
Y $\displaystyle \lim \limits_{z \to a} (z-a)^{k}f(z)$ existe porque $a$ es un polo de orden $k$$f$. Como consecuencia, $-a$ es también un polo de $f$. Para el residuo de la relación, podemos notar que si $a$ es un polo de orden $k$$f$, entonces :
$$ \begin{align*} \mathrm{Res}_{-a}(f) &= {} \frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} \Big((z+a)^{k}f(z) \Big) \\[2mm] &= \frac{1}{(k-1)!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} \Big( (-1)^{k} (-z-a)^{k}f(z) \Big) \\[2mm] &= (-1)^{k-1} \frac{1}{(k-1)!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} (-1)^{k} \Big( (z-a)^{k}f(-z) \Big) \\[2mm] &= - \mathrm{Res}_{a}(f) \\ \end{align*} $$
Es correcto esto o puede ser mejorado ? Gracias.
