¿Prueba de Arquímedes?

Question

He estado luchando con un concepto relativo a la prueba de la propiedad de Arquímedes. Eso es demostrar mi contradicción de que Para todo $x$ en los reales, existe $n$ en los naturales tal que $n>x$ .

Bien, entonces asumimos que los naturales están acotados arriba y mostramos una contradicción.

Si los naturales están acotados por encima, entonces tiene un mínimo superior (supremum) digamos $u$

Ahora considere $u-1$ . Desde $u=\sup(\mathbb N)$ , $u-1$ es un elemento de $\mathbb N$ . (aquí está mi primer hipo, no estoy del todo seguro de por qué podemos decir $u-1$ está en $\mathbb N$ )

Esto implica (de nuevo no estoy seguro de esta implicación) que existe un $m$ en $\mathbb N$ tal que $m>u-1$ . Un poco de álgebra nos lleva a $m+1>u$ .

$m+1$ está en $\mathbb N$ y $m+1>u=\sup(\mathbb N)$ por lo que tenemos una contradicción.

¿Alguien puede ayudar a aclarar estas implicaciones con las que no me siento muy cómodo? Gracias.

Answer 1

$u-1$ puede no ser un elemento de $\mathbb{N}$ pero podemos estar seguros de que $u-1 < u$ . Desde $u$ es el supremum de $\mathbb{N}$ entonces $u-1$ no puede ser un límite superior para $\mathbb{N}$ . Esto significa que hay un $n \in \mathbb{N}$ tal que $u-1 < n$ . Pero entonces $n+1 \in \mathbb{N}$ y $u = (u-1)+1 < n+1$ que es nuestra contradicción. ( $u$ ya no es un límite superior de $\mathbb{N}$ .)

Answer 2

No creo que sea necesario el hecho de que $u\in N$ (el hecho no es ni siquiera verdadero).Y para la segunda dificultad el hecho se desprende de la propiedad del supremum.Como $u-1$ no es un límite superior por lo que existe un número natural mayor que él.

Answer 3

Prueba: Supongamos para una contradicción que $\mathbb{N}$ está acotado por encima. Entonces $\sup\mathbb{N}$ existe por el Axioma de Completitud, Por la Propiedad de Aproximación con $ε = 1/2$ existe $k ∈ \mathbb{N}$ con $$\sup \mathbb{N} − \frac{1}{2} < k < \sup \mathbb{N} +\frac{1}{2} $$ Pero entonces $k + 1 ∈ \mathbb{N}$ y $k + 1 > \sup \mathbb{N} + 1$ una contradicción.