¿Encontrar el volumen usando integrales dobles?

Question

Pregunta: Usa la doble integral para encontrar el volumen del sólido encerrado por las esferas $x^2+y^2+z^2=1$ y $x^2+y^2+(z-1)^2=1

Bien, así que intenté hacer esto por mí mismo y no estoy seguro si está bien. ¿Alguien podría revisar mi trabajo?

Curva de intersección: \begin{align*} x^2 + y^2 + z^2 &= x^2 + y^2 + (z - 1)^2\\ \implies z^2 &= z^2 - 2z + 1\\ \implies z &= 1/2. \end{align*}

Entonces, la curva de intersección es $x^2 + y^2 = 3/4$ con $z = 1/2$. Por simetría, basta con duplicar el volumen entre $z = 1/2$ y $z = 1$.

$x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1$ está arriba de $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ cuando $z > 1/2$.

Resolviendo para $z$ (positivo) se obtiene $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ y $z = 1 + \sqrt{1 - x^2 - y^2}$.

Por lo tanto, el volumen es igual a \begin{align*} V &= 2 \iint \left[(1 + \sqrt{1 - x^2 - y^2}) - \sqrt{1 - x^2 - y^2}\right]\, dA\\ \\ &= 2 \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\sqrt{3/4}}\!r\,dr \,d\theta, \qquad\textrm{via coordenadas polares}\\ \\ &= 2 \int_0^{2\pi} \!\left[(1/2)r^2\right]_{r = 0}^{\sqrt{3/4}}\, d\theta\\ \\ &= \int_0^{2\pi}\!3/4\,d\theta\\ \\ &= 3\pi/2. \end{align*}

Answer 1

Por la palabra "enclosed", estoy asumiendo que quieres encontrar el volumen delimitado por estas dos esferas, lo que significa el sólido formado por su intersección. Afirmaste:

$x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1$ está por encima de $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ cuando $z > 1/2$.

Si realmente queremos encontrar el volumen de la intersección, entonces esto no es preciso. La primera esfera está centrada en $(0,0,1)$ con radio $1$, la segunda tiene el origen como su centro con el mismo radio. Si imaginas a un observador sentado en el eje $x$ ($y=0$), este observador verá que el fondo de $x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1$ está por debajo de la parte superior de $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, la integral debería configurarse como: $$ V = \int^{\sqrt{3}/2}_{-\sqrt{3}/2} \int^{\sqrt{3/4 - y^2}}_{-\sqrt{3/4 - y^2}} \int^{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}_{1- \sqrt{1 - x^2 - y^2}} 1\,dz\,dx\,dy. $$ Cambiando a coordenadas cilíndricas:

$$ V = \int^{2\pi}_{0} \int^{\sqrt{3}/2}_{0} \int^{\sqrt{1 - \rho^2}}_{1- \sqrt{1 - \rho^2}} \rho\,dz\,d\rho\,d\theta. $$ Integra lo anterior (para que lo intentes): $$ V = \frac{5\pi}{12}, $$ lo cual coincide con la fórmula de casquete esférico. (EDIT: error de cálculo anterior, ahora corregido)

Answer 2

Además del enfoque de @Shuhao, también puedes usar las coordenadas esféricas. De hecho, los límites en este sistema serían:

$$r|_{\frac{1}{2\cos(\theta)}}^1,\theta|_0^{2\pi},\phi|_0^{\pi/3}$$

Nota que dos criaturas se cruzan en $z=1/2$.