Para mostrar que $\operatorname{Rank}(\mathbf{A}-\mathbf{I})=\operatorname{Nullity}(\mathbf{A})$

Question

Problema es:

Que $\mathbf{A}$ ser $n\times n$ matriz con entradas reales tales que $\mathbf{A}^{2} = \mathbf{A}$. Si $\mathbf{I}$ denota la matriz identidad, entonces cómo probar el resultado: $$\operatorname{Rank}(\mathbf{A}-\mathbf{I})=\operatorname{Nullity}(\mathbf{A})$ $

He mostrado trivial % tomando $\mathbf{A}=\mathbf{I}$, pero en general no sé cómo comprobarlo, gracias por la ayuda.

Answer 1

Sugerencia: $$ \mathbf{A}^{2} = \mathbf{A} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{A}^{2} - \mathbf{A} = \mathbf{0}_{n\times n} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{A} \left(\mathbf{A}-\mathbf{I}\right) = \mathbf{0}_{n\times n}. $$ Deje $\mathbf{B} = (\mathbf{A} - \mathbf{I})$. Lo anterior implica que cada vector en el rango de $\mathbf{B}$ se encuentra en el nullspace de $\mathbf{A}$. Se puede tomar desde allí?

Edit: estoy ampliando la respuesta, porque parece que tenemos que aclarar un par de cosas. ¿Por qué es que el rango de $\mathbf{B}$ se encuentra en el nullspace de $\mathbf{A}$? Deje $\mathbf{w}$ ser cualquier vector en el rango de $\mathbf{B}$, $\mathcal{R}(\mathbf{B})$. Esto significa que podemos escribir $\mathbf{w}$ como una combinación lineal de las columnas de a $\mathbf{B}$, es decir, existe una $\mathbf{c}$ tal que $\mathbf{w}=\mathbf{B}\mathbf{c}$. Pero, $$ \mathbf{A}\mathbf{w} =\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{c} = \mathbf{0}_{n\times n} \mathbf{c} = \mathbf{0}, $$ lo que implica que $\mathbf{w}$ pertenece a la nullspace de $\mathbf{A}$, $\mathcal{N}(\mathbf{A})$. Por lo tanto, hemos demostrado que $$ \mathbf{w} \in \mathcal{R}(\mathbf{B}) \quad \Rightarrow \quad \mathbf{w} \in \mathcal{N}(\mathbf{A}), $$ o, equivalentemente, $$ \mathcal{R}(\mathbf{B}) \subseteq \mathcal{N}(\mathbf{A}). $$ Lo anterior implica que $$ \text{nulidad}(\mathbf{A}) \ge \text{rango}(\mathbf{B})=\text{rango}(\mathbf{A}-\mathbf{I}). $$ Pero no hemos terminado todavía, ya que queremos mostrar que los dos lados son en realidad iguales.

Estoy asumiendo que usted debe estar familiarizado con el Rango de-Nulidad Teorema. ¿Cómo se puede utilizar para mostrar el otro lado de la desigualdad.

Edit 2: (Este es el punto donde las sugerencias de empezar a buscar mucho una respuesta!) El Rango de-Nulidad Teorema teorema dice que $$ n = \text{rango}(\mathbf{A}) + \text{nulidad}(\mathbf{A}) \quad \Rightarrow \quad \text{nulidad}(\mathbf{A}) = n - \text{rango}(\mathbf{A}). $$ ¿Qué se puede decir acerca de la $\text{rank}(\mathbf{A} - \mathbf{I})$ con respecto al $\text{rank}(\mathbf{A})$? ¿Cómo se puede obtener en la foto? (¡Recuerde! estamos tratando de mostrar que $\text{nullity}(\mathbf{A}) \le \text{rank}(\mathbf{A} - \mathbf{I})$ porque ya hemos demostrado que la inversa de la desigualdad.)

Edit 3: Ya hemos demostrado que $\text{nullity}(\mathbf{A}) \ge \text{rank}(\mathbf{A}-\mathbf{I})$. Para mostrar que la relación se mantiene con la igualdad, no es suficiente para mostrar que $$ \text{nulidad}(\mathbf{A}) \le \text{rango}(\mathbf{A}-\mathbf{I}). $$ Ya hemos visto que $$ \text{nulidad}(\mathbf{A}) = n - \text{rango}(\mathbf{A}). $$ Por lo tanto, para mostrar el resultado deseado, es suficiente para mostrar que $$ n - \text{rango}(\mathbf{A}) \le \text{rango}(\mathbf{A}−\mathbf{I}). $$ Una manera de discutir sobre esto, posiblemente no es la mejor, es la siguiente. Deje $\mathbf{B} = \mathbf{A} - \mathbf{I}$. Por la clasificación de nulidad teorema, sabemos que $$ \text{rango}(\mathbf{B}) + \text{nulidad}(\mathbf{B}) = n. $$ Ahora, el nullspace de $\mathbf{B}$, $\mathcal{N}(\mathbf{B})$, consta de todos los vectores $\mathbf{w}$ tal que $\mathbf{B}\mathbf{w}=\mathbf{0}$, o lo que es equivalente: $$ \mathbf{w} \in \mathcal{N}(\mathbf{B}) \quad \Leftrightarrow \quad (\mathbf{A}-\mathbf{I})\mathbf{w} = \mathbf{0} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{A}\mathbf{w} = \mathbf{w}. $$ Estos vectores $\mathbf{w}$ son claramente sólo un subconjunto de la gama de $\mathbf{A}$. En otras palabras, $$ \mathbf{w} \in \mathcal{N}(\mathbf{B}) \quad \Rightarrow \quad \mathcal{R}(\mathbf{A}), $$ y, a su vez, $ \mathbf{w} \in \mathcal{N}(\mathbf{B}) \subseteq \mathcal{R}(\mathbf{A}). $ Llegamos a la conclusión de que $\text{nullity}(\mathbf{B}) \le \text{rank}(\mathbf{A})$ y, por último, $$ \text{rango}(\mathbf{B}) = n-\text{nulidad}(\mathbf{B}) \ge n-\text{rango}(\mathbf{A}), $$ cual es el deseado desigualdad $$ \text{rango}(\mathbf{A}-\mathbf{I}) \ge n-\text{rango}(\mathbf{A}). $$

Answer 2

Aquí es lo que creo que es una prueba más corta de $$ A^2 = A \implies ker(A) = image(A-I) $ $

prueba: escriba $A^2 = A$ $A(A-I) = 0$ esto significa que cada columna de $A-I$ sea en $ker(A),$ $image(A-I) \subset ker(A).$

para mostrar la otra dirección, elegir $x \in ker(A),$ lo que $Ax = 0.$el % entonces $x = x - Ax = (I-A)x$ $x \in image(A-I)$ $\ker(A) \subset image(A-I)$ que

Ahora sigue el resultado $$rank(A-I) = dim(ker(A)) = nullity(A)$ $.

p.s.: esto parece demasiado bueno para ser verdad. Espero que no ha hecho ningún error lógico.