¿Por qué no Van Kampen Teorema del espacio pendiente de hawaiano?

Question

El Hawaiano pendiente espacio ha notoriamente complicado grupo fundamental, y es, esencialmente, no es tan simple como la cuña de la suma de countably muchos círculos cuyo grupo fundamental es directamente dada por el Teorema de Van Kampen. Sin embargo, todavía me cuesta entender por qué Van Kampen falla en este caso.

Puedo, sin embargo, gran parte de captar el topológica de la diferencia entre los dos. Por ejemplo, el punto de la cuña de countably muchos círculos de unidad es localmente contráctiles, mientras que la de la de Hawai pendiente no es. Pero, al comprobar el Teorema de Van Kampen dado por Allen Hatcher, yo realmente no puedo encontrar nada malo con el pendiente:

Ruta de acceso-conexión es trivial. Realmente es suficiente para comprobar el rojo-caja de condición. Por supuesto, para cada círculo, decir $C_n:=\{(x-1/n)^2+y^2=1/n^2\}$, en el de los aretes de espacio, siempre podemos encontrar una abierta subarc $L_n$ que la deformación se retrae en $(0,0)$, el punto de la cuña. Así que ¿por qué no es aplicable el teorema?

Answer 1

Deje $H$ denotar el Hawaiano pendiente de espacio. Entonces hay una surjective continua $\coprod_n C_n\to H$ que identifica el basepoints de todos los círculos. Sin embargo, este mapa no es un cociente mapa! Por lo $H$ no $\bigvee C_n$, ya que no tiene la topología cociente.

He aquí una manera de ver esto. Para cada una de las $n$, vamos a $U_n\subset C_n$ ser un pequeño arco abierto alrededor del punto de base. A continuación, $U_n$ está abierto en $C_n$ por cada $n$, e $\coprod U_n$ es saturada subconjunto de $\coprod C_n$ con respecto a la equivalencia de la relación de la identificación de la basepoints. Así que la imagen de $\coprod U_n$ en el cociente $\bigvee C_n$ está abierto. Pero la imagen de $\coprod U_n$ $H$ no está abierto, ya que no contiene una vecindad del punto de base (en orden para que, a $U_n$ tendría que ser todos los de $C_n$ para todos, pero un número finito de $n$).

Ahora nota que Hatcher argumento es el que hace indispensable el uso de la suposición de que $\bigvee X_\alpha$ tiene el cociente de la topología en orden a afirmar que el conjunto de $A_\alpha$ está abierto en $\bigvee X_\alpha$ (este es el mismo argumento que me acabo de dar de por qué la imagen de $\coprod U_n$ sería abierta en $\bigvee C_n$). Así que este argumento no funciona para $H$.