EDIT: El primer párrafo es una tontería... pero me quedo con esta aquí, ya que los comentarios puedan ser útiles para las personas que buscan en esta pregunta.
Parece que encontré la respuesta a mi propia pregunta! En la ducha justo ahora, me vino con un 7-colector no acotada en un 8-múltiple: $\mathbb{RP}^2 \times S\mathbb{RP}^4$ (Edit: esto no funciona, sin embargo; no confiar en las cosas que usted encuentre en la ducha. Sólo necesito un 5-colector con la extraña característica de Euler... ¿alguna idea?). De hecho, el aviso de que su característica de Euler es el producto de Euler características de los factores, que son ambos impares. Los límites de colectores incluso han característica de Euler, por lo tanto este no es un límite, y es claramente el 7-dimensional.
Así que mi confusión se debió al hecho de que la demanda de cada 7-colector es un límite " es falso! Después de una cuidadosa extracción de Milnor de papel, parece que, aunque él utiliza los incompetentes de la frase "cada 7-colector es un límite", realmente sólo se utiliza que "cada orientable 7-colector es un límite de un orientable 8-colector."
No estoy del todo seguro de por qué esto es cierto, pero hay cierta evidencia que proviene del hecho de que si nos invertir $2$ en las orientadas cobordism anillo, entonces se convierte en isomorfo a un polinomio de álgebra $\mathbb{Z}[1/2]$ de los generadores en cada 4ª dimensión... así que al menos sabemos que no hay nada que aparecen en la dimensión 7 posiblemente con la excepción de algunos 2-torsión. Alguien sabe por qué no hay 2-torsión no?
