Grupo de la homología del espacio cociente

Question

Sean X ser el espacio cociente de $S^2$ bajo la identificaciones $x\sim-x$ $x$ en el % Ecuador $S^1$. Calcular el % de grupos de homología $H_i(X)$. Lo mismo para $S^3$ con los puntos antipodal del Ecuador $S^2 \subset S^3$ identificado.

Esto probablemente se relaciona con homología celular. Gracias.

Answer 1

Deje $X=S^2/\mathord\sim$ y,dejando $S^2_+\subseteq S^2$ ser la parte superior cerrada hemisferio en el ámbito, vamos a $X_+=S^2_+/\mathord\sim$ ser el cociente de $S^2_+$ por el restringido relación de equivalencia. Ahora, considere el largo de la secuencia exacta en la reducción de la homología para el par $(X,X_+)$.

El uso de la escisión y c, muestran que la relación de homología de $(X,X_+)$ es el mismo que el resultado del colapso de la $X_+$ a un punto, por lo que obtener un $2$-esfera. Por otro lado, $X_+$ es un plano proyectivo, entonces usted también sabe que su homología. Ahora uso el largo de la secuencia exacta.