Encontrar el subgrupo de $(\mathbb Z_{56},+)$ que es isomorfo con $(\mathbb Z_{14},+)$ por boquete

Question

Yo soy la clasificación de algunas preguntas fáciles para los estudiantes en Grupo de Teoría I. Uno de ellos es:

Es $(\mathbb Z_{14},+)$ isomorfo a un subgrupo de $(\mathbb Z_{35},+)$? ¿Qué acerca de la $(\mathbb Z_{56},+)$?

Sé que la primera afirmación es falsa, porque si es verdad entonces he a $14\nmid 35$ lo cual es una contradicción. Para el segundo, veo que la función de $f:(\mathbb Z_{14},+)\to(\mathbb Z_{56},+), f(g)=4g$ es un buen uno-uno homomorphism.

Mi problema es encontrar a $f(\mathbb Z_{14})$ mediante el uso de BRECHA. Sé cómo definir Cíclico Grupos o Libre de Grupos en la BRECHA del medio ambiente también. Gracias por la ayuda.

Answer 1

gap> G:=CyclicGroup(56);
<pc group of size 56 with 4 generators>
gap> S:=AllSubgroups(G); # available since GAP 4.5, mainly for teaching purposes
[ Group([ <identity> of ... ]), Group([ f3*f4^3 ]), Group([ f2*f3*f4 ]), 
  Group([ f4 ]), Group([ f1*f2*f3 ]), Group([ f3 ]), Group([ f2 ]), 
  Group([ f1, f2, f3, f4 ]) ]
gap> H:=Filtered(S,x->Size(x)=14);
[ Group([ f3 ]) ]

Answer 2

Ya que sabemos que es cíclico, sólo tenemos que encontrar un elemento de orden $14$:

G:=CyclicGroup(56);
gen:=Filtered(G,g->Order(g)=14);
Group(gen[1]);

Answer 3

BRECHA prefiere multiplicativo de los grupos. Sin embargo, usted puede hacer un uso limitado de aditivos grupos, si usted está dispuesto a informar a diferencia de un par de cosas que no calcular de forma automática.

gap> g:=Enteros mod 14;
(Enteros mod 14)
gap> h:=Enteros mod 56;
(Enteros mod 56)
gap> f:=MappingByFunction( g, h, x -> 4*Int(x)*(h) );
MappingByFunction( (Enteros mod 14), (Enteros mod 56), la función( x ) ... end )
gap> SetRespectsZero( f, la Imagen de f, Cero(Fuente(f))) = Cero(Rango(f)) );
gap> SetRespectsAddition( f, ForAll( Tuplas(Fuente(f),2),
 xy -> Imagen(f,xy[1]+xy[2]) = Image(f,xy[1])+Imagen(f,xy[2]) ));
gap> IsAdditiveGroupHomomorphism(f);
cierto
gap> Imagen(f);
[ ZmodnZObj( 0, 56 ), ZmodnZObj( 4, 56 ), ZmodnZObj( 8, 56 ),
 ZmodnZObj( 12, 56 ), ZmodnZObj( 16, 56 ), ZmodnZObj( 20, 56 ),
 ZmodnZObj( 24, 56 ), ZmodnZObj( 28, 56 ), ZmodnZObj( 32, 56 ),
 ZmodnZObj( 36, 56 ), ZmodnZObj( 40, 56 ), ZmodnZObj( 44, 56 ),
 ZmodnZObj( 48, 56 ), ZmodnZObj( 52, 56 ) ]
gap> Tamaño(Kernel(f));
1
gap> IsInjective(f);
cierto