Describir los homomorphisms del anillo de $\mathbb Z\times\mathbb Z$ $\mathbb Z\times\mathbb Z$

Question

Nota: En esta clase, un anillo de homomorphism debe mapa multiplicativo y aditivo identidades multiplicativo y aditivo identidades. Esto es diferente de nuestro libro de texto del requisito, y, a menudo, significa que hay un menor número de situaciones a considerar.

Siempre tengo un muy difícil momento de contestar este tipo de preguntas:

Deje $\phi: \mathbb{Z~ \times ~Z} \rightarrow \mathbb{Z~ \times ~Z}$ ser un anillo homomorphism. Sabemos, entonces, por definición de un anillo homomorphism, que $\phi(1,1) = (1,1)$ (debido a $(1,1)$ es la identidad multiplicativa de $\mathbb{Z~ \times ~Z}$). Cualquier anillo homomorphism entonces debe tener la forma $\phi(a,b) = (a,b)$ o $\phi(a,b) = (b,a)$. Cualquier adición o multiplicación de los elementos, dejaría de enviar$(1,1)$$(1,1)$.

... Es esto correcto? Parece demasiado simple, pero estoy bastante seguro de que cubre todas las posibilidades.

Answer 1

Sabes que $(1,0) \cdot (0,1)=(0,0)$ y $f(1,0) \cdot f(0,1)=f(0,0)=0$. Esto implica que el $f(1,0)=(a,0)$ o $(0,a)$, $a\in\mathbb{Z}$ y semejantemente para $f(0,1)=(b,0)$ o $(0,b)$. Desde $f(1,1)=(1,1)$ tendrás que $a=b=1$ y sólo dos de las cuatro opciones son válidas. De esta manera usted consigue exactamente las dos funciones.

Answer 2

Tengo un manual que pasa a través de las soluciones a este problema. Aunque Quimey está en la pista, de hecho, hay 9 posibilidades, y todas ellas describen un anillo homomorphism.

Pensar de esta manera. Sea f:ZxZ a ZxZ ser la función. A continuación, supongamos que f(1,0) = (m,n) . Así, f(1,0) = f( (1,0)(1,0) ) = f(1,0)f(1,0) = (m,n), (m,n) = (m^2,n^2). Así que cuando es verdadero en Z para m^2 = m y n^2 = n? sólo cuando m y n son 1 o 0.

Esto significa que f(1,0) = (1,0) , (0,1) , (1,1) , (0,0)

Aviso a pesar de que tiene que ser en ciertas combinaciones uno con el otro debido a la razón de Quimey declaró.