Mostrando que $\int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\sin(x)-\sin^2x}{e^{\sin(x)}+\cos(x)}=\log 2$

Question

No veo cómo probar que $$\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{1+\sin(x)-\sin^2(x)}{e^{\sin(x)}+\cos(x)}\,\mathrm dx=\log 2 integración por partes es de ninguna ayuda. Lo mismo con la variable de cambio. ¿Debo usar series de Taylor? ¿Pero cómo?

Answer 1

Sugerencia: $$\frac{d}{dx}\ln\left(e^{\sin x}+\cos x\right)=\frac{e^{\sin x}\cos x-\sin x}{e^{\sin x}+\cos x}=\cos x-\frac{\cos^2 x+\sin x}{e^{\sin x}+\cos x}.