Derivado de $\log |AA^T|$ con respecto a los $A$.

Question

¿Qué es el derivado de $\log |AA^T|$ con respecto a los $A$ donde $|A|$ denota el factor determinante de la matriz A?

Answer 1

Definir que $f : \mathbb{R}^{m \times n} \to \mathbb{R}$

$$f (X) = \log |X X^T|$$

Es el derivado direccional de $f$ en la dirección de $V \in \mathbb{R}^{m \times n}$

$$\begin{array}{rl} D_V f (X) &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \log |(X + h V) (X + h V)^T| - \log |X X^T| \right)\\\\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \log |X X^T + h V X^T + h X V^T + h^2 V V^T| - \log |X X^T| \right)\end{array}$$

Si $X$ fila de la fila completa, es decir, si ha $\operatorname{rank} (X) = m$, entonces el $X X^T$ es invertible. Por lo tanto,

$$\begin{array}{rl} D_V f (X) &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \log |X X^T + h V X^T + h X V^T + h^2 V V^T| - \log |X X^T| \right)\\\\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \log |X X^T| + \log | I_m + h (X X^T)^{-1} \left( V X^T + X V^T + h V V^T \right)| - \log |X X^T| \right)\\\\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \, \log | I_m + h (X X^T)^{-1} \left( V X^T + X V^T + h V V^T \right)|\\\\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \, \log ( 1 + h \operatorname{tr} ((X X^T)^{-1} \left( V X^T + X V^T + h V V^T \right)))\\\\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \operatorname{tr} ((X X^T)^{-1} \left( V X^T + X V^T + h V V^T \right))\\\\ &= \operatorname{tr} ((X X^T)^{-1} \left( V X^T + X V^T \right))\\\\ &= 2 \, \operatorname{tr} (X^T (X X^T)^{-1} V)\end{array}$$

Answer 2

Asumir que $A\in M_{n,m}$ donde $n\leq m$y $rank(A)=n$ y que $f(A)=\log(\det(AA^T))$. Entonces $Df_A:H\rightarrow tr((AA^T)^{-1}(HA^T+AH^T))$ o, si $A$ es una función derivable de la matrix, $f'(A)=tr((AA^T)^{-1}(A'A^T+AA'^T))$.

Answer 3

Consejo 1:

$\partial \log\det(M)=trace(M^{-1} \partial M)$

Consejo 2:

Utilice la regla de la cadena.

Espero que esto te sirva. Por favor háganos saber si usted no podía descubrirlo.