Estoy buscando una referencia para el siguiente resultado:
Si $G$ es un grupo de mentira simplemente conectado y compacto y $\Sigma$ es una superficie orientable compactada, cada paquete principal $G$ $\Sigma$ es trivial.
La prueba supuestamente utiliza teoría de homotopía y clasificar espacios. No estoy muy familiarizado con cualquiera, así que no sé donde comenzar a buscar.
El homotopy teórico de la prueba es la siguiente: Vamos a $E \longrightarrow \Sigma$ principal $G$-paquete sobre una superficie $\Sigma$. Un paquete es determinado por un homotopy clase $[f_E] \in [\Sigma, BG]$ al clasificar el espacio de la teoría. Desde $G$ es simplemente conectado (y, presumiblemente, conectado), la clasificación de espacio $BG$ $2$- conectado (es decir, conectado, simplemente se conecta, y $\pi_2(BG) = 0$). Una superficie de $\Sigma$ tiene el homotopy tipo de $2$-dimensiones de CW-complejos. Por lo tanto $[\Sigma, BG] = 0$ debe ser eso $[f_E] = 0$, por lo que el $E$ es la trivial paquete.
Tenemos los siguientes primaria de hecho en general:
Hecho 1. Si $X$ $n$- dimensiones CW complejo y $Y$ $n$- conectado, a continuación,$[X, Y] = 0$.
Además, una propiedad básica de la clasificación de los espacios es la siguiente:
Hecho 2. Si $G$ $(n-1)$- conectado, a continuación, $BG$ $n$- conectado.
Por el mismo argumento anterior, estos dos hechos implican los siguientes datos generales:
Hecho 3. Si $G$ $(n-1)$conectados a la Mentira de grupo y $X$ $n$- dimensiones del colector, a continuación, a cada director $G$-paquete de más de $X$ es trivial.
Por ejemplo, todos los $\mathrm{SU}(2)$-paquete de más de un $3$-colector es trivial.
Voy a describir un par de referencias aquí. Primero de todo, si usted quiere saber exactamente cómo la clasificación de espacio $BG$ está construido y de que el director de $G$-bundle $EG \longrightarrow BG$ es universal, puede leer las secciones 4.11-4.13 de Husemöller los Haces de Fibras. La idea principal es la siguiente:
Para un grupo topológico $G$, hay un espacio topológico $BG$ y un director $G$-bundle $EG \longrightarrow BG$ $EG$ contráctiles tal que para cualquier paracompact espacio de $X$, clases de isomorfismo de director de la $G$-paquetes de más de $X$ están en una correspondencia uno a uno con homotopy clases de mapas de $X$ $BG$como sigue: $$[X, BG] \leftrightarrow \text{Prin}_G(X),$$ $$[f] \leftrightarrow f^\ast EG.$$
Aquí $f^\ast EG$ es el pullback de $EG \longrightarrow BG$ por cualquier mapa de $f$ que representa a homotopy clase $[f] \in [X, BG]$. Así que para clasificar principal $G$-paquetes a través de una paracompact espacio de $X$ (por ejemplo, un colector), podemos ver homotopy clases de mapas de$X$$BG$. Si tenemos suerte, algunas de las propiedades de $X$ $BG$ puede que encontremos $[X, BG]$ sin hacer mucho trabajo.
No sé de un lugar donde el Hecho de que aparezca un 1 como un teorema, sino que es el Ejercicio 117, en Davis, y Kirk Notas de la Conferencia en Topología Algebraica. Usted puede resolver trabajando celda por celda.
Hecho 2 desprende de la larga secuencia exacta de un fibration en homotopy y el hecho de que $EG$ es contráctiles. El largo de la secuencia exacta de un fibration va como sigue: si $F \hookrightarrow E \to B$ es un fibration, entonces tenemos una larga secuencia exacta $$\cdots \to \pi_{k+1}(B) \to \pi_k(F) \to \pi_k(E) \to \pi_k(B) \to \pi_{k-1}(F) \to \cdots.$$ Si aplicamos esto a $G \hookrightarrow EG \to BG$ y utilice el hecho de que $EG$ es contráctiles, nos encontramos con que $\pi_{k+1}(BG) \cong \pi_k(G)$, por lo que si $G$$n$, $BG$ $(n+1)$- conectado.
Por último, el Hecho 3 es sólo un corolario de los Hechos 1 y 2, así como las propiedades básicas de la clasificación de los espacios.
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