¿Incontables estructuras diferenciales en $4$-variedades?

Question

El profesor de introducción a la teoría general de la relatividad hizo un comentario que me confundió. No es simplemente que me parece poco intuitivo, también me resulta difícil de envolver mi cabeza alrededor de lo que significa:

Dimensiones de $1$$3$, topológico, el colector puede solamente uno de los diferenciales de la estructura (y un número finito de en $5-7$) [creo que lo que quiso decir es que aquí se puede dar una cantidad infinita de diferencialmente compatible atlasses, pero todos ellos son diffeomorphic], pero en la dimensión $4$, podemos darle un incontable número de no diffeomorphic diferencial de las estructuras.

Primero de todo, no estoy 100% seguro si entiendo lo que significa. Por ejemplo, es correcto decir que para dar una topológico colector de un determinado diferencial de la estructura es elegir un suave Atlas $A$ o cualquier otro que ha transición suave mapas a $A$'s cartas?

Para poner a prueba mi comprensión, por favor dígame si las siguientes re-formulación es correcta:

Tomar cualquier ${1,2,3}$-dimensiones variedad diferenciable $M$. Tome el conjunto $X$ de todos los colectores que se homeomórficos a $M$. A continuación, todos los elementos de a $X$ son también diffeomorphic uno al otro.

Tomar cualquier $4$-dimensiones variedad diferenciable $M$. Tome el conjunto $Y$ de todos los colectores que se homeomórficos a $M$. A continuación, hay un incontable número de subconjuntos de a $U_{\alpha \in R}$ $Y$ tal que para todos los $\alpha \in R$, todos los elementos de a $U_{\alpha}$ son diffeomorphic uno al otro, sino para todos los $\alpha, \beta \in R, ($$\alpha \neq \beta)$, ningún elemento de $U_{\alpha}$ es diffeomorphic a un elemento de $U_{\beta}$.

A continuación, las preguntas que este post es todo acerca de:

• ¿Por qué hay sólo uno en particular diferencial estructura de ${1,2,3}$ dimensiones de los colectores (prueba sabio tal vez, pero sobre todo de forma intuitiva)? Me siento como yo no puede entender el $4$ dimensiones de forma extraña, hasta que comprender intuitivamente la ${1,2,3}$ de los casos.
• ¿Qué debemos imaginar cuando decimos que un $4$-dimensiones del colector tiene múltiples diferencial de las estructuras? No podemos imaginar fácilmente a $4$ dimensiones del espacio, pero ¿hay alguna forma intuitiva para mostrar lo que esto significa?

---

Comentarios adicionales

$(1)$. El análisis adicional/pregunta: Si mi re-formulación es correcta, entonces el teorema ¿ no implica que para cualquier particular diferenciable $4$-colector (es decir, cualquier conjunto particular de puntos en $R^{d>=4}$ formando una $4$-sub-colector) hay infinitos posibles diferencial de las estructuras. Por ejemplo, si tomamos cualquier particular diferenciable $4$-colector incrustado en $R^{d>=4}$, luego de que el colector sólo tendrá una única estructura diferenciable, ¿correcto?

Answer 1

El $1$-dimensional caso es trivial, y el $2$-dimensional caso es clásica (pero más difícil de lo que cabría esperar). El caso de la dimensión de $3$ fue demostrado por Moise en los años 50. Dimensiones superiores son diferentes: en El primero distintos suave estructuras en el mismo colector fueron presentados por Milnor para $S^7$. Además, cualquier compacto, PL colector en la dimensión $n\not = 4$ tiene sólo un número finito de distintas suave estructuras.

El caso de $n = 4$ es muy diferente de la parte inferior y superior-dimensional de los casos, y la intuición de que probablemente no se aplica. Glib una línea de respuesta es que en bajas dimensiones, la geometría domina; en altas dimensiones, el $h$-cobordism teorema y sus extensiones de dominar, y el sujeto se convierte en la cirugía de la teoría. El problema con la dimensión de $4$ es que el Whitney truco falla estrepitosamente. No son agradables $4$-variedades que no tienen liso de la estructura (es decir, un colector $X$ no homeomórficos a cualquier liso colector $Y$), y no son agradables $4$-colectores que tienen varias suave estructuras. Por ejemplo, existe una cantidad no numerable de colectores que se homeomórficos a $\mathbb{R}^4$, pero no hay dos que son diffeomorphic. El $E_8$-colector es compacta y simplemente se conecta, pero no puede ser dado una suave estructura. Los detalles de los colectores tienen una suave estructura son complicadas, pero la existencia de un PL estructura para un pacto colector $X$ es detectado por el Kirby-Siebenmann clase $\kappa\in H^4(X, \mathbb{Z}_2)$. En particular, si $X$ tiene dimensión $<4$, entonces esta clase se desvanece. (Por supuesto, que se oculta exactamente donde la clase proviene; es un poco como leer el remate sin la broma.)

Usted preguntó por la intuición detrás de eso, y la mejor respuesta que se me ocurre es que el ingenuo de la intuición de que uno puede tomar una mejora razonable homeomorphism $X \to Y$ a "cercanos" suave mapa fracasa completamente en dimensiones superiores. A lo largo de líneas similares, que son característicos de clases conectados a colectores que son invariantes bajo diffeomorphisms pero no bajo arbitraria homeomorphisms, y así las dos categorías de estructuras son distinguibles. Dimensión $4$ sólo es particularmente raro. Topología de baja dimensión tiene un sabor muy diferente de la alta dimensión de la topología y la dimensión de $4$ es muy diferente incluso de dimensión $3$.

Answer 2

Yo personalmente lo puso de la siguiente manera:

Deje $M$ ser un diferencial de colector $M$ de la dimensión de $\dim(M) < 4$ (este viene con un particular atlas), si tenemos $N$ diferencial del colector de la misma dimensión y $M$ es homeomórficos a $N$ (para topológicamente el mismo), el $M$ $N$ son incluso diffeomorphic.

También, hay una cantidad no numerable de $M_\alpha$, $\alpha \in A$, algunos de los innumerables conjunto de índice, de tal forma que cada $M_\alpha$ es un 4-dimensional diferencial colector (incluyendo atlas, etc.) que, por $\alpha \neq \beta$, $M_\alpha$ es homeomórficos a $M_\beta$ pero $M_\alpha$ no es diffeomorphic a $M_\beta$.

Para información técnica, véase también wikipedia, como de costumbre.