Geometría hiperbólica. 3 dimensiones. ¿Lo que no se entiende bien?

Question

Según Mathworld, geometría hiperbólica se entiende en 2 dimensiones pero no en 3 dimensiones.

http://MathWorld.Wolfram.com/HyperbolicGeometry.html

Lo que no es bien entendido sobre geometría hiperbólica en 3D, que es en 2D o en 3D euclidiano geometría?

Answer 1

No sé qué "bien entendido" significa en este contexto. Es cierto que la geometría hiperbólica es un área rica en ambas dimensiones dos y tres.

En la dimensión dos de cada superficie cerrada la admisión de una estructura hiperbólica admite una cantidad no numerable, y estos se unen para formar espacio de moduli. Espacio de Moduli es un objeto de intenso estudio, desde el punto de vista de la geometría algebraica, teoría de números, sistemas dinámicos, etc. El "grupo fundamental" de espacio de moduli es la clase de asignación de grupo (también conocido como el sistema modular de grupo) y que esta vez es estudiado por muchos grupos diferentes.

En dimensión tres hemos Mostow rigidez diciendo que un cerrado de tres colector admite cero o esencialmente una estructura hiperbólica. De ello se desprende que los geométricas invariantes de la estructura hiperbólica dar invariantes topológicos de los tres-colector, la cual fue una maravillosa choque a topologists en los años 70. (Recientemente me contó una historia acerca de Thurston vagar alrededor de una conferencia en Warwick, en los años 70, con una calculadora programable en su cinturón, diciendo que él era informática volúmenes de nudos en los tres-esfera. Nadie tenía idea de lo que estaba diciendo, al parecer.)

De ello se desprende que los módulos de espacios hiperbólicos de tres colectores son mucho más simples. Para obtener una interesante teoría permite hiperbólico estructuras que no están completas (o discreta, etc) y, a continuación, los módulos de espacios llegar a ser muy salvaje y no son bien entendidos.