Demostrar que si $n$ es un número perfecto, $kn$ no es

Question

Demostrar que si $n$ es un número perfecto, $kn$ no es.

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Si $\gcd(k,n)=1$ esto es claro.

(suponga que $\sigma(n)=2n$, $\sigma(nk)=2kn$, entonces el $k=\sigma(k)$ $\sigma(k)>k)$.

Pero, ¿$\gcd(k,n)>1$?

Answer 1

Sugerencia: Buscar algunos divisores apropiados de $kn$ que suman exactamente $kn$. ¿Son falta alguna divisores?

Answer 2

Que $a_1,...a_r$ ser divisores de $n$, sabemos que $\sum a_i = n$. Así $kn$ es divisible por $ka_1,...,ka_n$ que suma $kn$ sino por $a_1$ por lo que la suma de los divisores de $kn$ es mayor que $kn$.