Demostrar que al menos 100 de los arcos determinados por los pares de estos puntos biolingüísticas un ángulo no superior a 120 grados en el centro. ¿Cómo probar esto? ¿Inducción? Ayuda por favor. Gracias.
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zyx
Puntos
20965
Forma un gráfico con 21 vértices correspondientes a los puntos y las aristas entre los pares de puntos a más de 120 grados de separación.
Este gráfico es el triángulo.
El número de aristas de un triángulo de libre gráfico 21 de vértices es (únicamente) maximizada por el bipartito gráfico 10 + 11 vértices que tiene 110 bordes. Por lo tanto, hay por lo menos ${21 \choose 2} - 110 = 210 - 110 = 100$ pares de vértices no unidos por una arista. Los pares corresponden a los pares de puntos en la mayoría de los 120 grados de separación.
Esto también explica cuál es la máxima de los arreglos de puntos de parecer. Todos ellos pueden ser constituida por dos cerrados disjuntos de 120 grados de arcos en el círculo, y la colocación de $10$ $11$ puntos, respectivamente, dentro de los dos intervalos abiertos que son el complemento de los arcos.
Jody M
Puntos
31
Desde el ángulo subtendido por cualquiera de los 2 puntos adyacentes es $360^\circ/21$, tenemos que tener 7 puntos de brecha para subtent un ángulo de $360^\circ/21 * 7 = 120^\circ$.
Por lo tanto, 8 puntos adyacentes sobrepasan $120^\circ$, y de cualquier menor número de puntos se sobrepasan $<120^\circ$. Así, podemos recoger $8, 7, \ldots 2$ puntos adyacentes y todos ellos sobrepasan el ángulo que queremos.
El número de $n$-puntos adyacentes que existen en un círculo se $p - n + 1$ donde $p$ es el número total de puntos.
Computación $S = \sum_{i=2}^8 p - i + 1 = \sum_{i=2}^8 21 - i + 1 = 97$ (si uno hace la matemáticas)
No estoy seguro de lo que me falta - sin embargo, yo creo que si vamos a tomar el ángulo más pequeño cuando el arco del ángulo de cruces $180^\circ$ (por ejemplo, si me cortan $300^\circ$ arco, nos tomamos el arco del ángulo a se $60^\circ$? En ese caso, el complemento de todos los arcos que han arco ángulos superiores a $360^\circ - 120^\circ = 140^\circ$ también necesitan ser calculadas. Esto definitivamente va a empujar el número de los arcos a más de una cientos de
