Simplificación de una expresión

Question

Se da la siguiente expresión: $$\frac{x^7+y^7+z^7}{xyz(x^4+y^4+z^4)}$ $

Simplificarlo, saber que $x+y+z=0$.

Answer 1

Uso que $z=-(x+y)$, por lo que tiene que el numerador resulta para ser $$x^7+y^7-(x+y)^7=-7x^6y-21x^5y^2-35x^4y^3-35x^3y^4-21x^2y^5-7xy^6$$Also, the denominator turns out to be $$xy(-x-y)(x^4+y^4+(-x-y))^4=-2x^6y-6x^5y^2-10x^4y^3-10x^3y^4-6x^2t^5-2xy^6$$You can factor a $7 $ from the numerator and a $2$ from the denominator, and the answer turns out to be $% $ $\frac{7}{2}$

Answer 2

Nota: el Uso de Newton identidades, podemos calcular la continuación de las expresiones más fácilmente, después de la fácil definición recursiva.

Pero, su idea de la escritura como raíces de tercer grado del polinomio funciona creo, pero requiere un poco de trabajo y nos muestran que aquí:

Deje $\displaystyle x,y,z$ ser raíces de $\displaystyle t^3 + at - b = 0$. Tenemos que $\displaystyle a = xy+yz+zx$$\displaystyle b = xyz$.

Desde $\displaystyle t^3 = b - at$, se multiplica por $\displaystyle t^4$ obtenemos $\displaystyle t^7= bt^4 - a t^5$.

Establecimiento $\displaystyle t=x,y,z$ a su vez y añadiendo nos da

$\displaystyle x^7 + y^7 + z^7 = b(x^4 + y^4 + z^4) - a(x^5 + y^5 + z^5)$

Parecida a la anterior, obtenemos $\displaystyle t^5 = bt^2 - a t^3$, establecimiento $\displaystyle t=x,y,z$ y añadiendo nos da

$\displaystyle x^5 + y^5 + z^5 = b(x^2 + y^2 + z^2) - a(x^2 + y^3 + z^3)$.

Del mismo modo obtenemos

$\displaystyle x^3 + y^3 + z^3 = 3b$

También tenemos $\displaystyle (x+y+z)^2 = 0$, lo que nos da

$\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = -2a$.

Así

$\displaystyle x^5 + y^5 + z^5 = -2ab - 3ab = -5ab$.

Ahora $\displaystyle t^4 = bt - at^2$ y en una manera similar obtenemos

$\displaystyle x^4 + y^4 + z^4 = -a(x^2+y^2 +z^2) = 2a^2$

Por lo tanto $\displaystyle xyz(x^4 + y^4 + z^4) = 2a^2 b$

y $\displaystyle x^7 + y^7 + z^7 = 2a^2b - (-5a^2b) = 7a^2 b$.

Así, la expresión dada es $\displaystyle \frac{7}{2}$.

Este enfoque puede ser utilizado para generar identidades.

Por ejemplo, muestran que

$\displaystyle 10(x^7 + y^7 + z^7) = 7(x^2 + y^2 + z^2)(x^5 + y^5 + z^5)$

Answer 3

¡Explotar la simetría innata! Utilizando identidades de Newton a escribir las cantidades de energía como funciones simétricas elementales es muy simple ya $\rm\:e_1 = x+y+z = 0\:$ mata muchos términos.

Escriba $\rm\ \ c = e_2 = xy + yz + zx,\ \ \ d = e_3 = xyz,\ \ \ p_k =\: x^k + y^k + z^k.$

$\rm\qquad\qquad p_1\ =\ e_1 = 0$
$\rm\qquad\qquad p_2\ = {-}2\: c$
$\rm\qquad\qquad p_3\ =\ \ \ 3\: d$
$\rm\qquad\qquad p_4\ = - c\: p_2\ =\ 2\: c^2$
$\rm\qquad\qquad p_5\ = -c\: p_3 +\: d\: p_2\ = {-}5\: c\: d$
$\rm\qquad\qquad p_7\ = -c\: p_5 +\: d\: p_4\ =\ 7\: c^2 d$

Por lo tanto, $\rm\displaystyle\ \frac{p_7}{p_4 d}\: =\: \frac{7\: c^2\: d}{2\: c^2\: d}\: =\: \frac{7}{2}$

Answer 4

% Primer $(x^3 + y^3 +z^3)(x+y+z) = x^4 + y^4 + z^4 + xy^3 + yx^3 + xz^3 +zx^3 +yz^3+y^3z = 0 $que significa

$$ x^4 + y^4 + z^4 = -xy(x^2+y^2) - yz(y^2+z^2) -zx (z^2 + x^2) \ \ \text{(1)}$$
$x+y+z=0$ $x^2+y^2=z^2-2xy$ implica, además, sustituir la suma del cuadrado tenemos $ x^4 + y^4 + z^4 = -xy(z^2-2xy) - yz(x^2-2xz)-zx(y^2-2zx)=-xyz(x+y+z)+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) $

Así $$ x^4 + y^4 + z^4=2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) \ \ \text{(2)}$ $

A continuación considere $ x^3+y^3-(x+y)^3 = -3xy(x+y) $ (se trata de una identidad básica) así que tenemos $ x^3 + y^3 +z^3 = 3xyz $ $x+y+z = 0$
$3xyz(x^4+y^4+z^4)=(x^3 + y^3 +z^3)((x^4 + y^4 +z^4)=x^7+y^7+z^7+ x^4y^3 + y^4x^3 + x^4z^3 +z^4x^3 +y^4z^3+y^3z^4 = x^7+y^7+z^7 +x^3y^3(x+y)+y^3z^3(y+z)+z^3x^3(z+x)$

Por la substitución con $\text{(1)}$ y $\text{(2)}$,

$$3xyz(x^4+y^4+z^4) =x^7+y^7+z^7-xyz(x^4+y^4+z^4)/2 $$

Por lo tanto la fracción es $\frac{7}{2}$

Wow no es este tiempo en mi pensamiento.