Resolver

Question

Creo que esta integral no converge. Quiero estimar hacia abajo el integral, pero no sé cómo.

Answer 1

Set $u=1/x$, y $du=-dx/x^2$ y $ \int_0^\infty \sin^2\left(\frac{1}{x}\right)\,dx=\int_0^\infty\frac {\sin^2u\,du} {u ^ 2}, $$ que converge, como $$ \frac{\sin^2u}{u^2}\le \max\left\{\frac{1}{u^2},1\right\}. $$

Nota. Usando cálculo de residuo uno podría obtener ese $$ \int_0^\infty\frac{\sin^2u\,du}{u^2}=\frac{\pi}{2}. $$

Answer 2

Consejo. Con sugerencia de Daniel, se conducen para evaluar $$ \int_0^{+\infty}\frac{\sin^2 x} {x ^ 2} dx $$ que es igual a $$ \int_0^{+\infty}\frac{\sin x} {x} dx = \frac {\pi} {2} $$ por una integración por las piezas aplicadas en $[\epsilon,M]$ ($\epsilon \rightarrow 0$, $M \rightarrow \infty.$)