Yo he estado mirando esta prueba durante mucho tiempo cualquier sugerencia sería de gran ayuda! Demostrar que para cualquier $m\times n$ % matriz $A$allí es un orthonormal base $B =\{ v_1,\ldots,v_n\}$ $\mathbb R^n$ tal que el % de vectores $A v_1,\ldots,A v_n$son ortogonales. Tenga en cuenta que algunos de lo vectores $A v_i$ pueden ser cero.
Respuestas
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Catalin Zara
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He aquí una sugerencia: Suponga que se encuentran esos vectores. Entonces uno debe tener $Av_j \cdot Av_1 = 0$ todos los $j = 2, \ldots, n$. Que también puede ser escrito como $v_j \cdot A^TAv_1=0$ todos los $j = 2, \ldots, n$. Desde $A^TAv_1$ debe ser ortogonal a todos los otros vectores en la base, se deduce que el $A^TAv_1$ debe ser un múltiplo de $v_1$ (posiblemente 0). Que hace que $v_1$ un autovector de a $A^TA$. Mismo con los otros vectores $v_2, \ldots, v_n$.
Ahora uso el hecho de que $A^TA$ es una matriz simétrica a la conclusión de que tiene un ortonormales eigenbasis.
(El argumento anterior es utilizado en la búsqueda de la Descomposición de Valor Singular de a $A$)
User001
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Sabemos que $A^tA$ es simétrica (usted puede fácilmente verificar esta.)
Entonces $A^tA$ deben ser ortogonalmente diagonalizable, es decir, hay un orthonormal base $B = \{v_1, ..., v_n\}$ $\mathbb R^n$ formada por vectores propios normalizados, pares orthogonal de $A^tA$, por el teorema espectral.
Ahora volvemos a la acción de $A$ y ver que, para cualquier $i,j$, el producto interno es:
\begin{align*} \langle A v_i ,A v_j \rangle &= \langle A^tA v_i, v_j \rangle \\ &= \langle \lambda_i v_i, v_j \rangle\\ &= \lambda_i \langle v_i, v_j \rangle \\ &=\lambda_i \cdot 0 \\ &= 0 \end{align*}
que demuestra el resultado.
