El operador diferencial para la difusión en tres dimensiones está dado por $\partial_t - k \nabla^2$ donde $k$ es una constante. La función de Green es (según Wikipedia) $$\theta(t)\left( \frac{1}{4\pi k t} \right)^{3/2} e^{-r^2/4kt}$$ donde $\theta$ es la función escalón de Heaviside y $r = |\mathbf{r}|$. Por lo tanto, deberíamos tener $$ (\partial_t - k \nabla^2)\theta(t)\left( \frac{1}{4\pi k t} \right)^{3/2} e^{-r^2/4kt} = \delta(t)\delta^3(\mathbf{r}).$$ He estado jugando con esto por un tiempo, pero simplemente no puedo ver cómo evaluar el lado izquierdo en la expresión anterior da el lado derecho. ¿De dónde vienen incluso las funciones delta?
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¿Demasiados anuncios?
higgsss
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Consideremos la expresión que obtenemos al eliminar la función escalón de Heaviside de la función de Green. Es una solución a la ecuación de difusión, a saber, $$ (\partial_t - k\nabla^{2}) \left(\frac{1}{4\pi k t}\right)^{3/2} e^{-r^2/4kt} = 0 $$ Además, se puede demostrar que \begin{equation} \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \left(\frac{1}{4\pi k t}\right)^{3/2} e^{-r^2/4kt} = \delta^{(3)}(\textbf{r}). \end{equation>
Ahora podemos ver que el operador diferencial $\partial_t - k\nabla^{2}$ casi aniquila la función de Green excepto cuando la derivada temporal actúa sobre $\theta(t)$.
\begin{equation} \begin{split} &(\partial_t - k\nabla^{2})\left[ \theta(t) \left(\frac{1}{4\pi k t}\right)^{3/2} e^{-r^2/4kt} \right]\\ &=\delta(t) \left(\frac{1}{4\pi k t}\right)^{3/2} e^{-r^2/4kt}. \end{split} \end{equation> Entonces, como $\delta(t)$ exige que $t=0$ en el resto de la expresión, lo que hemos obtenido es en realidad solo $\delta(t)\delta^{(3)}(\textbf{r})$.
