Grupo de difeomorfismo de la variedad de productos

Question

Para una determinada variedad diferenciable $M$ el grupo de difeomorfismo $\mathrm{Diff}\left( M \right)$ de $M$ es el grupo de todos los $C^\infty$ difeomorfismos de $M$ a sí mismo. Consideremos un colector de productos de la forma $M \times N$ . Mi pregunta es: ¿es $\mathrm{Diff}\left( M \times N\right) \cong \mathrm{Diff}\left(M\right) \times \mathrm{Diff}\left( N\right)$ ?

Mi intuición (de físico) es que no, pues considera $\mathbb{R}^2 \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ . Parece que $\mathrm{Diff}\left(\mathbb{R}\right) \times \mathrm{Diff}\left( \mathbb{R}\right)$ en $\mathbb{R}^2$ puede dar transformaciones de coordenadas suaves a lo largo de dos "ejes", pero no puede dar "giros", etc., como podría $\mathrm{Diff}\left(\mathbb{R}^2\right)$ .

¿Estoy en lo cierto? Y, si es así, ¿alguien puede ayudar a precisar mi intuición? ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

No son isomorfos, Supongamos que $M$ y $N$ son finitos o cardinales respectivamente $m$ y $n$ $Diff(M)$ es el grupo simétrico $S_m$ , $Diff(N)=S_n$ y $Diff(M\times N)=S_{mn}$ .

Answer 2

Como menciona el otro comentario, la respuesta es no. Por ejemplo, incluso si se quiere considerar sólo los difeomorfismos que preservan una de las proyecciones $X \times Y \to X$ tenemos el espacio de mapas $X \to \text{Diff}(Y)$ . (es decir, transformaciones de fibras) Los grupos de homotopía de $\text{Diff}(X\times Y)$ pueden no ser ni siquiera los mismos que los de $\text{Diff}(X)\times \text{Diff}(Y)$ . Véase, por ejemplo, el giro de Gluck: https://www.jstor.org/stable/1993581?seq=1#page_scan_tab_contents