Si $A^2=B^2=0$ y $AB=BA$ y $(A+B)^2=0$

Question

Me han dado una asignación de clase para probar o refutar la siguiente:

$A^2=B^2=0$ donde$A,B \in M_n(\mathbb R)$$n≥2$ . Si $AB=BA$, entonces es $(A+B)^2=0$ ?

He estado tratando de demostrar esta diciendo que, dadas las condiciones anteriores, $(A+B)^2 = 0$ es siempre verdadera, $0=0$. Mi intento:

$$(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = AB + BA = 2AB$$

Ahora, debido a: $(A+B)^2=0$: $2AB=0 \implies AB=0 $, pero debido a $A^2=B^2=0$, entonces si multiplicamos por Una en el lado izquierdo obtenemos: $AAB = A0 \implies A^2B = 0 \implies 0 = 0$.

¿Puedo probar esto correctamente? o no estoy permitido multiplicar por $A$ cuando no es $0$ en uno de los lados? He intentado refutar y no podía encontrar ninguna contra-ejemplos que trabajó.

Answer 1

Al $A,B$ conmutar puede aplicar el teorema del binomio, como lo hizo, que le da ese $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$. Puesto que usted tiene la hipótesis de $A^2=0$$B^2=0$, esto significa que $(A+B)^2=2AB$, y la pregunta es si esto es forzado a ser $0$ bajo las hipótesis.

Si has jugado un poco con las posibilidades de (commuting) nilpotent matrices, usted puede saber que muchas veces, pueden ser modelados por parciales de mapas a partir de un conjunto finito a sí mismo, cada elemento del conjunto que representa a una base de vectores, y el mapa que describe vectores de la base se asignan a otros vectores de la base, con los elementos en los que el mapa no está definido correspondientes a los vectores de la base asignada a$~0$. Aquí voy a tomar un conjunto finito$~S$ de los puntos en$~\Bbb Z^2$, los mapas de ser un cambio en la dirección horizontal y vertical (que asegura la conmutación) siempre que las tierras dentro de$~S$. Las condiciones de $A^2=0$ $B^2=0$ significa el $S$ puede tener más de $2$ puntos sucesivos en forma horizontal y vertical y $AB$ es un cambio por $(1,1)$. Parece claro que la hipótesis no implica que dicho cambio siempre tiene un punto de $S$ fuera del conjunto de$~S$. El más simple contraejemplo es con $S$ siendo las cuatro esquinas de una unidad cuadrada. Esto dará lugar a matrices $$ A=\pmatrix{0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\} \quad\hbox{y}\quad B=\pmatrix{0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\} $$ que, de hecho, comprobar la hipótesis, pero no la conclusión: $(A+B)^2=2AB\neq0$.