Dos secuencias $a_{2n}=a_n+1, a_{2n+1}=a_{n}+2$ y $b_{3n}=b_n+1, b_{3n+1}=b_n+2, b_{3n+2}=b_n+3$

Question

Consideremos dos secuencias $$a_{2n}=a_n+1, a_{2n+1}=a_{n}+2, a_1=1,a_2=2$$ and $% $ $b_{3n}=b_n+1, b_{3n+1}=b_n+2, b_{3n+2}=b_n+3, b_1=1,b_2=2,b_3=2.$

Demostrar que $a_{2^n} < b_{2^n}$ $n>3.$

Mis intentos para demostrarlo por inducción matemática fueron sin éxito.

Answer 1

Escriba $N$ en binario (base 2). Picar las cifras del final, uno a la vez. Cada vez, agregar $1+digit$ al valor final.
Así $a_n=$(number of digits) + (suma de dígitos) -1 en binario.
Del mismo modo, $b_n=$(number of digits) + (suma de dígitos)-1 en la base 3.
Por otro lado, no sé por qué $a_{2^n}=n+1$ es menor que $b_{2^n}$, cuando $2^n$ tiene menos dígitos en base 3.