Diagonalizing $xyz$

Question

El $g(x,y) = xy$ de la forma cuadrática puede ser diagonalized

por el cambio de variables $x = (u + v)$ y $y = (u - v)$.

Sin embargo, parece poco probable que el cúbico forma $f(x,y,z) = xyz$,

puede ser diagonalized por un cambio lineal de variables.

¿Hay una corta prueba computacional o teórica de esta?

Gracias.

Answer 1

El diagonalisation de la formas cuadráticas viene de la correspondencia con matrices simétricas, y el hecho de que usted puede diagonalise matrices simétricas.

Las formas cúbicas se corresponden con la tercera orden simétrico tensores y diagonalising formas cúbicas es equivalente a ser capaz de diagonalise ellos. No sé nada acerca de la teoría de la diagonalising tensores de orden superior, pero una búsqueda en google parece venir con un par de resultados para "diagonalising rango de tres tensores" y "diagonalising tensores de orden superior" por lo que hay algo ahí.

EDIT: me decidí a hacer un poco más de investigación. Si usted tiene acceso a JSTOR, el papel de "La Transformación de los Tensores en Forma Diagonal" de Oliver Aberth de SIAM Journal on de Matemática Aplicada, Vol. 15, Nº 5 (Sep., 1967), pp 1247-1252 que se puede encontrar en http://www.jstor.org/stable/2099163 da las condiciones para diagonalisation de general tensores, y parece ser capaz de entenderse con los conocimientos básicos del convenio de sumación. (Creo que de los tensores como matrices; y la suma de los convenios dice que si un índice aparece exactamente dos veces en un producto, que suma más de ella).

Corolario 1 de este artículo dice que:

Un tensor Cartesiano $A_{i_1,i_2,\ldots,i_s}$ pueden ser transformados de manera que es diagonalised en el $s$ los índices de $i_1,\ldots,i_s$, $2 \leq s \leq n$ si y sólo si a es simétrica en estos índices y el tensor de la $$A_{t i_2,\ldots,i_n}A_{t j_2,\ldots,j_n}$$ is symmetric in the indices $i_2,j_2$.

La condición es trivial en $2$ dimensiones, pero no está implícita la simetría en las dimensiones superiores. También muestra que el $xyz$ no puede ser diagonalised; es simétrica correspondiente tensor está dado por $T_{ijk}$ $1/6$ si $i,j,k$ son todos diferentes y $0$ si cualquiera de los dos son el mismo. Sin embargo, el tensor en la condición no es simétrica; $A_{t12}A_{t12}$ es igual a $1$, pero $A_{t22}A_{11}$ es cero.