No noetheriano anillos con un ideal que no contiene un producto de primera ideales

Question

Es bien sabido que en todo anillo noetheriano conmutativo cada ideal contiene un producto de ideales principales.

¿Existen ejemplos de anillos no noetheriano con un ideal que no contiene ningún ideales principales?

Answer 1

Deje que el anillo de $R=\mathbb{Z}^{\mathbb{(N)}}$ y el ideal de $I=(0)$.

$R= \{ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}| a_n=0$ , excepto para un número finito de $n\}$.

Para todos los $i\in \mathbb{N}$, vamos a $e_i=(a_{i,n})_{n \in \mathbb{N}}$ $a_{i,n}=1$ si $i=n$ $a_{i,n}=0$ si $i \neq n$.

Deje $P$ un alojamiento ideal.

Si $i \neq j$, $e_i e_j=0$, por lo $e_i \in P$ o $e_j \in P$.

Si existe un $i \in \mathbb{N}$ tal que $e_i \notin P$, $e_i e_j=0$ si $j \neq i$. Así que para todos los $j \neq i$, $e_j \in P$.

Por lo $\bigoplus_{j \neq i}\mathbb{Z}e_j\subset P.$

Si elegimos un número finito de primer ideales $P_1,...,P_k$$\bigoplus_{j \neq i_m} \mathbb{Z} e_j \subset P_m$$m=1,...,k$,

tenemos $I=(0) \neq \bigoplus_{j \neq i_1,...,i_k} \mathbb{Z} e_j \subset P_1P_2...P_k$.

Por lo $I$ no contiene un producto de primer ideales.

EDIT: $R= \{ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}| a_{n+1}=a_n$ $n$ suficientemente grande $\}$.