Demostrar que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{5^n}^!}$ converge a un número irracional

Question

Es la suma

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{5^n}^!}$$

Mi primer intento fue suponer que la serie converge a un número racional $a/b$. Pero me molestó el $n!$ y fracasé en mi prueba.

¿Cómo intenta demostrar esta serie?

Answer 1

Porque en base $5$ ese número tendrá una extensión no-periódica.

También puede probar directamente por el uso que aumenta la distancia entre los dígitos distintos de cero. Esto significa que usted puede cada $\epsilon>0$ encontrar un número entero (distinto de cero) $a$ tal que $a\sum 5^{-n!}$ puede ser escrito como $N+\xi$ donde $N$ es un número natural y $0<\xi<\epsilon$. Si $k\sum 5^{-n!}$ es un número natural entonces es así $ak\sum 5^{-n!} = kN + k\xi$ donde $0<\xi<k\epsilon<1$. Argumento similar se puede usar para mostrar que el número es trascendental.

Answer 2

Usted puede comprobar esto con el enfoque a menudo usado con $e$.

Thm: Si $\xi\in\mathbb{Q}$ entonces existe un $c>0$, dependiendo únicamente de la $\xi$ s.t. al $p,q$ enteros con $q>0$$\frac{p}{q}\neq\xi$,$\left\lvert\xi -\frac{p}{q}\right\rvert\geq\frac{c}{q}$.

Prueba: Elija $b,q>0$ $\left\lvert\frac{a}{b} -\frac{p}{q}\right\rvert\geq\frac{1}{bq}$ (combinar las fracciones juntos para ver esto).

Vamos \begin{align*} \xi&=\sum_{k=1}^\infty 5^{-k!} \\ \xi_n&=\sum_{k=1}^n 5^{-k!} \end{align*}

El (reducido) denominador de $\xi_n$ es en la mayoría de las $5^{n!}$, por lo que vamos a $p=5^{n!}\xi_n$ $q=5^{n!}$ ser nuestro enteros, de modo que

$$\frac{c}{5^{n!}}\leq\left\lvert\xi -\xi_n\right\rvert=\sum_{k=n+1}^\infty 5^{-k!}\leq\sum_{k=(n+1)!}^\infty 5^{-k}=\frac{5}{4}\cdot 5^{-(n+1)!}=\frac{1}{4\cdot 5^{n}\cdot 5^{n!}}$$

y así llegamos a la conclusión de que si $\xi\in\mathbb{Q}$,$$\frac{c}{5^{n!}}\leq \frac{1}{4\cdot 5^{n}\cdot 5^{n!}}$$

esto no puede ser cierto para todos los $n$ no importa el $c$, y por lo $\xi\notin\mathbb{Q}$