Deje $\mathcal{K}$ ser (no necesariamente contables) de la colección de compactos de cubos en $\mathbb{R}^n$. Mostrar que $\cup\{K:K\in \mathcal{K}\}$ es un conjunto de Lebesgue (Medibles con respecto a la medida de Lebesgue).
Si la unión es contable, el argumento es bastante simple: cada una de las $K\in \mathcal{K}$ es cerrado y por lo tanto un conjunto de Borel (es decir, pertenece a la Borel $\sigma$-álgebra), y desde $\sigma$-álgebras son cerrados bajo contables de los sindicatos, $S=\cup\{K:K\in \mathcal{K}\}$ es un conjunto de Borel. Debido a que cada conjunto de Borel es Lebesgue medible, hemos terminado.
Por lo tanto, WLOG podemos asumir que $\mathcal{K}$ es un incontable de la familia. La sugerencia es el uso de la Vitali que Cubre teorema. No estoy muy seguro de cómo resolver esto, pero tengo un par de ideas. Mi idea principal es utilizar el hecho de que cada Lebesgue medible puede ser escrito como la unión de un conjunto de Borel y un conjunto de medida de Lebesgue cero, y cada set que puede ser escrita de tal forma es Lebesgue medible.
Podemos tomar $V=\{C\subset \mathbb{R}^n: C $ es un compacto cubo s.t. $C\subset K$ $K\in \mathcal{K}\}$ . Esto le da una Vitali cobertura de $S$, y así por el Vitali que cubre teorema existe una secuencia de pares de cubos disjuntos $C_1,C_2,...\in V$ tal que $\cup_j C_j$ contiene $\lambda_n$-casi todos los puntos de $\mathcal{K}$.
A continuación, $\mathcal{K}=\mathcal{K}\cap \left( \cup_j C_j\right)\cup \left(\mathcal{K}-\cup_j C_j \right)=\cup_j C_j \cup \left(\mathcal{K}-\cup_j C_j\right)$ (La última igualdad celebración por la forma en $V$ está definido). Desde $\cup_j C_j$ es un conjunto de Borel (siendo una contables de la unión de conjuntos cerrados), y $\mathcal{K}-\cup_j C_j$ es un Lebesgue nula conjunto, $\mathcal{K}$ es un conjunto de Lebesgue.
