Apretones de manos en una fiesta

Question

He aquí la pregunta que estoy atascado con -

Hay $20$ de las parejas casadas en una fiesta. A cada hombre le da la mano a todos, excepto a sí mismo y a su cónyuge. La mitad de las mujeres se niegan a agitar las manos con cualquier otra mujer. El otro $10$ mujeres estrechar la mano de cada uno de los otros (pero no con ellos mismos). Cuántos apretones de manos hay en la fiesta?

Mi Solución:

1. Los apretones de manos se hace por los hombres: Hay $20$ formas de elegir a un hombre y $38$ formas de elegir a la otra persona, por un total $20 \cdot 38 = 760$. Pero, como cada apretón de manos es contada dos veces, la respuesta es $\frac{760}{2} = 380$
2. Los apretones de manos realizada por las mujeres que se niegan a temblar la mano con cualquier otra mujer: estos ya están contabilizados en $380$ apretones de manos (Ya que las mujeres sólo pueden darse la mano con los hombres. Esto fue tomado el cuidado de encima).
3. Los apretones de manos hecho por los otros $10$ mujeres y hombres: Estos se cuentan en $380$ apretones de manos.
4. Los apretones de manos hecho por mujeres y para mujeres en el grupo de $10$:$\binom{10}{2} = 45$.

Por lo tanto el total de apretones de manos se $380 + 45 = 425$.

---

Sin embargo, el total de apretones de manos se $615$ según mi libro de texto. Puede alguien por favor me ayude a encontrar el error?

Answer 1

Su error se aprecia en su primera línea: no debe dividir por $2$ como no cuenta los apretones de manos entre los hombres y las mujeres dos veces.

En cambio, las formas de elegir a un hombre es $20$. El número de hombres que se dan la mano con él es $19$. Puesto que el apretón de manos muy se cuenta dos veces, los hombres agite las manos $190$ veces.

El número de apretones de manos los hombres con las mujeres es simplemente $20 \times 19$, así $380$.

Combinando esto con los resultados, nos da la respuesta en el libro de texto o $570+45=615$.

Answer 2

Existen los siguientes tipos de apretones de manos

1. Mujer vs: $\dbinom{10}{2}=45$. Estuviste correcto en eso.
2. Hombre vs hombre: $\dbinom{20}{2}=190$.
3. Mujer vs del hombre: cada hombre realiza $19$ apretones de manos con las mujeres. Puesto que hay hombres de $20$ esto da $$19\times20=380$ $ esos apretones de manos.

Resumen por el $$45+190+380=615$$ Your mistake was in steps $2 $ and $3 $ because you treated them as $1 $ step. While handshakes between man and man are counted indeed twice, handshakes between man and woman are counted only once, so dividing all with $2$ está mal. Tienes que distinguir entre estas dos categorías.