SI $f(x) = \int_{0}^{\phi (x)} g(t) dt$ ¿Cómo podríamos encontrar $f'(x)$ ?

Question

Dado $$f(x) = \int_{0}^{\phi (x)} g(t) dt$$ ¿Cómo podríamos encontrar $f'(x)$ ? Por favor, explique su respuesta.

Answer 1

Supongamos que $\phi (x) $ es una función diferenciable. El lado derecho es la composición de dos funciones más simples, de las cuales podemos encontrar la derivada.

$$ f(x) = G( \phi (x) ) $$ donde $ G(x) =\displaystyle \int^x_0 g(t) dt.$ Por el regla de la cadena , $$ f'(x) = \phi ' (x) \cdot G'( \phi (x) ) .$$

Por el Teorema fundamental del cálculo tenemos $ G'(x) = g(x) $ así que $ G'( \phi (x) ) = g( \phi (x) ).$

Así, $$ f'(x) = \phi ' (x) \cdot g( \phi (x) ). $$

Answer 2

Debe ser $f(\phi(x))\cdot\phi'(x)$ .