Clausura proyectiva: ¿cómo determinar?

Question

En el ejercicio 2.9 del libro de Geometría Algebraica por Hartshone, el autor nos cuestiona acerca de la proyectivas de cierre de una variedad afín.

Deje $Y$ ser afín variedad en $\mathbb{A}^n$, la identificación de $\mathbb{A}^{n}$ con el subconjunto $U_0$ $\mathbb{P}^n$ por el mapa $\varphi_{0}: (x_0,x_1,..,x_n)\mapsto (\dfrac{x_1}{x_0},...,\dfrac{x_n}{x_0})$. Entonces podemos hablar de $\bar{Y}$, el proyectivas de cierre de $Y$$\mathbb{P}^{n}$.

una, que Muestran que las $I(\bar{Y})$ es un ideal generado por a $\beta(I(Y))$

b, Demostrar que si $f_1,...,f_r$ generar $I(Y)$, $\beta(f_1),...,\beta(f_r)$ no generan necesariamente $I(\bar{Y})$

Mi pregunta son :

1. De la correspondencia dada por el mapa : $\beta : f(x_1,...,x_n)\longmapsto x_{0}^{\text{deg}f}f$ donde $f$ es un polinomio homogéneo, podemos ver que un polinomio homogéneo de fuga en $Y$ da un polinomio homogéneo de fuga en $\bar{Y}$. Pero, ¿cómo podemos dar un representan un elemento de $I(\bar{Y})$ en el término de todos los elemento en $I(Y)$ a la conclusión de la parte $a$ ? Porque a partir de la parte b, obtenemos que los generadores de $I(Y)$ podría no tener efecto en el generador de $I(\bar{Y})$.
2. Es de todos modos hay que pensar acerca de la proyectivas de cierre de $Y$ geométricamente ? Considero que el siguiente ejemplo, y me sale la confusión :

Deje $f=x^2-xy$, entonces el ajuste a cero de $f$ $\mathbb{A}^n$ $Z(f)=Y=\{(t,t),(t,0)|t\in k\}$

A continuación,$\beta(f)=z^2(x^2-xy)=F(x,y,z)$, y luego el proyectivas de cierre de $Y$ $\{/(a:t:t), (a:0:t)|a,t\in k\}$

Así que, creo que, sólo podemos añadir uno más de coordenadas de a $Y$ conseguir $\bar{Y}$, entonces mi tercera pregunta es : ¿tiene sentido pensar que el proyectivas de cierre ? ¿Cuál es su importancia en la geometría algebraica ?

Answer 1

Un par de consejos/sugerencias:

i). Se trabaja con la incorrecta definición de $\beta$! Por favor, compruebe de nuevo Hartshorne, p.11 en la parte superior, para obtener el derecho. En particular, en su ejemplo, usted debe tener

$$\beta(x^2-xy)=x^2-xy$$

y no $\beta(x^2-xy)=z^2(x^2-xy)$.

ii). Para El Ex.2.9.(a), podría ser más fácil de probar que $Z(\beta(I(Y)))=\overline{Y}$. Esto es equivalente a $\beta(I(Y))=I(\overline{Y})$ por Ex.2.4 (tenga en cuenta que $\beta(I(Y))$ es un alojamiento ideal, ya que el $I(Y)$ es).

iii). No es cierto en general, que $\overline{Y} \setminus Y$ consta de un solo punto. Considere la posibilidad de $Y=(x=0)$$\Bbb{A}^3$. A continuación,$\overline{Y} \setminus Y = \{[0:a:b:0] \vert a,b \in k\}$, que es isomorfo a un proyectiva de la línea.