¿Hay una cuidada fórmula para el volumen de un tetraedro en la superficie de $S^3$?

Question

No es una buena fórmula para el área de un triángulo en la superficie de la 2-dimensiones de la esfera; Si el triángulo es la intersección de las tres de la mitad de las esferas, y tiene ángulos de $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$, y lo normalizar el área de la totalidad de la esfera a se $4\pi$, entonces el área del triángulo es $$ \alpha + \beta + \gamma \pi. $$ La prueba es un lindo aplicación de la inclusión-exclusión de los tres conjuntos, y consiste en el hecho de que el área que queremos calcular aparece en ambos lados de la ecuación, pero con signos opuestos.

Sin embargo, cuando se trata de la copia de la prueba a la esfera tridimensional de la paridad va por el camino equivocado y se obtiene 0=0.

Existe una sencilla fórmula para el volumen de la intersección de cuatro medias esferas de $S^3$ en términos de los 6 ángulos entre los cuatro delimitador hyperplanes?

Answer 1

En el volumen de un hiperbólico y esférica tetraedro, por Murakami y Yano. El volumen se obtiene como una combinación lineal de dilogarithms y plazas de los logaritmos. El origen de su fórmula es realmente interesante: Asymptotics de quantum $6j$ símbolos. (Estos asymptotics también se han estudiado por muchas otras personas: D. Thurston, Roberts, Woodward, Frohman, Kania-Bartoszynska, etc.)

Tenga en cuenta que las 3 dimensiones de la fórmula tiene que ser mucho más complicado. El 2-dimensional fórmula proviene de la característica de Euler y Gauss-Bonnet, pero la característica de Euler de la 3-esfera, o cualquier extraño dimensiones del colector, se desvanece. De hecho, cada una de las características de la clase de una 3-esfera desaparece, porque la tangente paquete es trivial. No puede ser puramente lineal de tratamiento de volúmenes en isotrópica espacios en dimensiones impares. En dimensiones, siempre hay una puramente lineales de extensión de menores dimensiones que el uso generalizado de Gauss-Bonnet.

Answer 2

Buena respuesta, Greg. Miré el documento vinculado y fue suficientemente intimidado. Sólo quiero señalar, una vez más, que para aquellos (como yo) que tienen una fobia de geometría diferencial y por lo tanto no quiere usar Gauss-Bonnet (generalizada), es fácil de ver, el uso de inclusión-exclusión, que la fórmula de dimensiones incluso es una cuidada combinación lineal de las fórmulas en las dimensiones inferiores.