¿Es cualquier bola cerrada no compacta en un espacio de dimensión infinita?

Question

Se sabe que la bola unitaria cerrada $\overline{B_1(0)}$ en un espacio normado $X$ es compacto si y sólo si $\dim X < \infty$ . En particular, el $\overline{B_1(0)}$ no es compacto si $\dim X = \infty$ . La prueba de esto implica encontrar una secuencia $\{ x_n \}_{n\in\mathbb{N}} $ con $||x_n|| = 1 $ para todos $n \in \mathbb{N}$ tal que $||x_n - x_m|| > \frac{1}{2}$ para todos $n \neq m$ . Entonces esta secuencia es una secuencia acotada que no es una secuencia de Cauchy, por lo que no tiene una subsecuencia convergente, por lo que $X$ no es (secuencialmente) compacto. La construcción va entonces con El lema de Riesz encontrando posteriormente puntos con norma 1 que tengan una distancia mayor que $\frac{1}{2}$ al subespacio generado por los puntos anteriores.

Ahora mi pregunta es, ¿alguna bola cerrada $\overline{B_r(0)}$ con $r>0$ no compacto en un espacio de dimensión infinita? Parece muy intuitivo, ya que topológicamente las bolas son todas difeomórficas, y parecería poco probable que para $r>1$ la bola más grande es compacta mientras que $\overline{B_1(0)}$ no lo es. Sin embargo, cuando miro la prueba, me doy cuenta de que el lema de Riesz realmente sólo funciona para la norma 1 y no para alguna norma arbitraria. ¿Hay alguna manera de adaptar este lema o de utilizar una construcción diferente para poder decir algo sobre todas las bolas cerradas?

Answer 1

Si $x$ es un vector en su espacio dimensional infinito y $\alpha\neq 0$ entonces las funciones $x\mapsto v+x$ y $x\mapsto \alpha x$ son homeomorfismos del espacio sobre sí mismo. De ello se deduce que todas las bolas cerradas son homeomorfas y, por tanto, no son compactas.

Answer 2

¿Hay alguna manera de adaptar este lema o hacer uso de una construcción diferente para decir algo sobre todas las bolas cerradas?

Sí. Considere la demostración del Teorema 1.22 en El libro de Rudin según la cual Todo espacio vectorial topológico localmente compacto $X$ tiene una dimensión finita . Si $X$ es un espacio normado y consideramos la vecindad particular $V=B(0,1)$ entonces tal prueba toma esta forma más sencilla . Reescalando y traduciendo, obtenemos el siguiente argumento.

Reclamación. Cualquier bola cerrada es no compacta en un espacio de dimensión infinita.

Prueba: Dejemos que $X$ sea un espacio normado y $B$ una bola cerrada arbitraria en $X$ , digamos que con centro $a$ y el radio $r$ .

Supongamos que $B$ es compacto.

Como $\{B(x;\frac{r}{2})\}_{x\in B}$ es una cubierta abierta de $B$ Hay $x_1,...,x_n\in B$ tal que $$B\subset \bigcup_{i=1}^n B(x_i;\tfrac{r}{2}).$$ Como $$B(x_i;\tfrac{r}{2})= x_i-a+B(a;\tfrac{r}{2})=x_i-\tfrac{a}{2}+\tfrac{1}{2}B(a;r)$$ se deduce que $$B(a;r)\subset B\subset \bigcup_{i=1}^n \big(x_i-\tfrac{a}{2}+\tfrac{1}{2}B(a;r)\big)\subset Y+\tfrac{1}{2}B(a;r),$$ donde $Y=\text{span}\{a,x_1,...,x_n\}$ . Así, \begin{align*} B(a;r)\subset Y+\tfrac{1}{2}[Y+\tfrac{1}{2}B(a;r)]&=Y+\tfrac{1}{2^2} B(a;r)\\ &\subset Y+\tfrac{1}{2^2} [Y+\tfrac{1}{2}B(a;r)]=Y+\tfrac{1}{2^3}B(a;r). \end{align*} En general, $$B(a;r)\subset Y+\tfrac{1}{2^n} B(a;r)=Y+B\big(a,\tfrac{r}{2^n}\big),\quad \forall\ n\in\mathbb N.$$ Así, cada $x\in B(a;r)$ tiene la forma $x=y_n+x_n$ con $y_n\in Y$ y $x_n\in B\big (a;\tfrac{r}{2^n}\big)$ . Como $x_n\to a$ , $y_n\to x-a$ y por lo tanto $x-a\in \overline{Y}=Y$ . Como $a\in Y$ se deduce que $x=(x-a)+a\in Y$ . Esto demuestra que $B(a;r)\subset Y$ lo que implica que $X\subset Y$ y por lo tanto $$\dim X\leq\dim Y=n+1<\infty.$$ Por lo tanto, si $\dim X=\infty$ entonces $B$ no es compacto. $\square$