Buscar topologías no triviales que satisfagan ciertas condiciones

Question

Busco topologías T sobre un espacio infinito X que dividan los subconjuntos de X en 2 colecciones no vacías: (1) conjuntos que son tanto abiertos como cerrados (clopen); (2) conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados.

La topología trivial es un ejemplo, en el que X y el conjunto nulo son clopen y todos los demás subconjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Pero no he podido encontrar otros ejemplos. Tampoco he podido encontrar un argumento que demuestre que no puede haber otros además de la topología trivial.

Imagíname como un anciano deambulando por Contraejemplos en topología y se rasca la cabeza, con el pelo empezando a caer. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Combinando los comentarios de Henning y los míos y ampliándolos ligeramente:

Los espacios cuya topología consiste únicamente en conjuntos cerrados son precisamente las uniones disjuntas de los espacios con topología trivial.

Dejemos que $X$ sea un espacio cuya topología $\tau$ se compone únicamente de conjuntos cerrados. Nótese que $\tau$ es estable bajo uniones y complementos arbitrarios, por lo que también es estable bajo intersecciones arbitrarias.

Definir una relación $\sim$ en $X$ de la siguiente manera: $x \sim y$ si y sólo si para todos los conjuntos cerrados $U$ tenemos $\{x,y\} \subset U$ o $\{x,y\} \cap U = \emptyset$ .

Se trata, obviamente, de una relación reflexiva y simétrica. También es transitiva: Supongamos que $x \sim y$ y $y \sim z$ . Consideremos un conjunto abierto arbitrario $U$ . Por definición de $x \sim y$ sólo hay dos posibilidades:

1. Si $\{x,y\} \cap U = \emptyset$ entonces debemos tener $\{y,z\} \cap U = \emptyset$ desde $y \sim z$ Por lo tanto $\{x,z\} \cap U = \emptyset$ .
2. Si $\{x,y\} \subset U$ entonces también debemos tener $\{y,z\} \subset U$ desde $y \sim z$ y por lo tanto $\{x,z\} \subset U$ .

Así, $x \sim z$ y la relación es transitiva.

Escribe $[x]$ para el $\sim$ -clase de equivalencia de $x$ . Acabamos de ver que para cada clopen $U$ o bien tenemos $[x] \subset U$ o $[x] \cap U = \emptyset$ . Por lo tanto, cada conjunto cerrado $U$ es una unión de clases de equivalencia. Si $x \not \sim y$ entonces existe un conjunto cerrado $V$ tal que $[x] \subset V$ y $[y] \cap V = \emptyset$ . Así, $[x]$ es la intersección de los conjuntos cerrados que lo contienen y, por tanto, también es cerrado. Como cada conjunto cerrado interseca $[x]$ trivialmente o debe contenerla, la topología relativa en $[x]$ es la topología trivial. Dado que $X$ se divide en clases de equivalencia, se deduce que $X$ es una unión disjunta de espacios con la topología trivial.

Por el contrario, si $X$ es una unión disjunta de espacios con la topología trivial, entonces tiene la propiedad deseada.

---

Finalmente, como observó Henning, toda relación de equivalencia en $X$ dota $X$ con una topología formada únicamente por conjuntos cerrados: la topología generada por las clases de equivalencia. La relación de identidad da la topología discreta y la relación trivial $X \times X$ da la topología trivial. Cualquier otra relación de equivalencia da una topología como la que pides.

---

Añadido: Por tu comentario me he enterado de que esto se llama topología de partición por Steen y Seebach en Contraejemplos en topología y aparece como ejemplo 5 en página 43 .