Combinando los comentarios de Henning y los míos y ampliándolos ligeramente:
Los espacios cuya topología consiste únicamente en conjuntos cerrados son precisamente las uniones disjuntas de los espacios con topología trivial.
Dejemos que $X$ sea un espacio cuya topología $\tau$ se compone únicamente de conjuntos cerrados. Nótese que $\tau$ es estable bajo uniones y complementos arbitrarios, por lo que también es estable bajo intersecciones arbitrarias.
Definir una relación $\sim$ en $X$ de la siguiente manera: $x \sim y$ si y sólo si para todos los conjuntos cerrados $U$ tenemos $\{x,y\} \subset U$ o $\{x,y\} \cap U = \emptyset$ .
Se trata, obviamente, de una relación reflexiva y simétrica. También es transitiva: Supongamos que $x \sim y$ y $y \sim z$ . Consideremos un conjunto abierto arbitrario $U$ . Por definición de $x \sim y$ sólo hay dos posibilidades:
- Si $\{x,y\} \cap U = \emptyset$ entonces debemos tener $\{y,z\} \cap U = \emptyset$ desde $y \sim z$ Por lo tanto $\{x,z\} \cap U = \emptyset$ .
- Si $\{x,y\} \subset U$ entonces también debemos tener $\{y,z\} \subset U$ desde $y \sim z$ y por lo tanto $\{x,z\} \subset U$ .
Así, $x \sim z$ y la relación es transitiva.
Escribe $[x]$ para el $\sim$ -clase de equivalencia de $x$ . Acabamos de ver que para cada clopen $U$ o bien tenemos $[x] \subset U$ o $[x] \cap U = \emptyset$ . Por lo tanto, cada conjunto cerrado $U$ es una unión de clases de equivalencia. Si $x \not \sim y$ entonces existe un conjunto cerrado $V$ tal que $[x] \subset V$ y $[y] \cap V = \emptyset$ . Así, $[x]$ es la intersección de los conjuntos cerrados que lo contienen y, por tanto, también es cerrado. Como cada conjunto cerrado interseca $[x]$ trivialmente o debe contenerla, la topología relativa en $[x]$ es la topología trivial. Dado que $X$ se divide en clases de equivalencia, se deduce que $X$ es una unión disjunta de espacios con la topología trivial.
Por el contrario, si $X$ es una unión disjunta de espacios con la topología trivial, entonces tiene la propiedad deseada.
Finalmente, como observó Henning, toda relación de equivalencia en $X$ dota $X$ con una topología formada únicamente por conjuntos cerrados: la topología generada por las clases de equivalencia. La relación de identidad da la topología discreta y la relación trivial $X \times X$ da la topología trivial. Cualquier otra relación de equivalencia da una topología como la que pides.
Añadido: Por tu comentario me he enterado de que esto se llama topología de partición por Steen y Seebach en Contraejemplos en topología y aparece como ejemplo 5 en página 43 .
