Yo estaba caminando en un bosque un día y vio los árboles a mi alrededor. He empezado a preguntarse acerca de lo lejos veo en el bosque, en promedio. Me recordó también a la "prueba" de que la edad del universo es finito, es decir,. que si el universo era infinitamente viejo, la luz de cada estrella en todas partes habrían llegado a nosotros y no importa dónde nos fijamos en el cielo, nos gustaría ver un punto de luz, esto no es cierto, por lo tanto el universo es finito de edad.
Sé que la distribución del número de árboles "núcleos" o a los centros en un área determinada $N(A)$ es la distribución de Poisson, es decir,. $P(N(A)=n) = (\lambda A)^n e^{-(\lambda A)}/n!$.
Entonces, me pregunté a mí mismo, si yo tuviera uno de esos láser de medición de distancia de las cosas, apuntó al azar a una dirección paralela al suelo y esperó hasta que la distancia de ($X$) se muestra, ¿cuál sería la distribución de $X$? Suponga que todos los árboles son del mismo diámetro de la $d$, el terreno es plano y todos los árboles son perfectamente lisas. ¿Cómo se pueden generalizar a dimensiones superiores?
Entonces le pregunté a la pregunta de seguimiento: si hay un rectángulo rojo colocadas perpendicularmente a mi línea de visión, ¿hasta dónde tiene que colocarse de modo que yo no sería capaz de verla, es decir. la fracción visible detrás de los árboles sería pequeño, es decir,. más pequeño que algunos pequeños $\varepsilon$?
edit: La respuesta a la primera pregunta, intento:
Vamos que yo estoy de pie en un lugar vacío y disparar el láser a una dirección aleatoria. Suponga que $x$ es la distancia recorrida, $\frac{d}{2} $ es el radio de los árboles. (Me gustaría añadir una foto, pero realmente no sé cómo).
A continuación, vamos a calcular el área donde no puede haber ningún árbol centros. Por lo tanto alrededor de mí hay un círculo con un radio de $d/2$ donde no hay árboles, el láser está rodeado por la zona de la anchura de las cuales es $d$ y, por último, al final hay un semicírculo de radio $\frac{d}{2} $. Así se nos suma a todos estos juntos (causa negativa, me paré en una compensación de radio de $\frac{d}{2} $) $$A = -\frac{\pi}{2} \left( \frac{d}{2} \right)^2 + x d + \frac{\pi}{2}\left( \frac{d}{2} \right)^2 = x d$$
A continuación, utilizando la distribución de Poisson me dio anteriormente, podemos obtener la función de distribución acumulativa de $X$: $$1-P(X\ge x) = 1-e^{- \lambda d x}.$$ This is Weibull distribution with parameters $1$ and $1/(\lambda d)$. The expected value is thus $E(X)=\frac{1}{\lambda d}.$ Esto responde a mi primera pregunta. Creo que sería bastante fácil de extender a otras dimensiones. La última pregunta es un poco intimidante.
