Mostrando que $ \int_ {0}^{1} \frac {x-1}{ \ln (x)} \mathrm dt= \ln2 $

Question

Me gustaría mostrar que

$$ \int_ {0}^{1} \frac {x-1}{ \ln (x)} \mathrm dx= \ln2 $$

Lo que me molesta es que $ x-1 $ es el numerador, así que la serie de energía geométrica es inútil.

¿Alguna idea?

Answer 1

Este es un ejemplo clásico de diferenciación dentro del signo integral.

En particular, que $$J( \alpha )= \int_0 ^1 \frac {x^ \alpha -1}{ \log (x)}\;dx$$ . Entonces uno tiene que $$ \frac { \partial }{ \partial\alpha }J( \alpha )= \int_0 ^1 \frac { \partial }{ \partial\alpha } \frac {x^ \alpha -1}{ \log (x)}\;dx= \int_0 ^1x^ \alpha\ ;dx= \frac {1}{ \alpha +1}$$ y así sabemos que $ \displaystyle J( \alpha )= \log ( \alpha +1)+C$ . Notando que $J(0)=0$ nos dice que $C=0$ y así $J( \alpha )= \log ( \alpha +1)$ .

Answer 2

$ \displaystyle \int_ {0}^{1} \frac {x-1}{ \log {x}}\;{dx} = \int_ {0}^{1} \int_ {0}^{1}x^{t}\;{dt}\;{dx} = \int_ {0}^{1} \int_ {0}^{1}x^{t}\;{dx}\;{dt} = \int_ {0}^{1} \frac {1}{1+t}\;{dt} = \log (2). $

Answer 3

Haciendo la sustitución $u= \ln x$ tenemos $$I= \int_ {- \infty }^0 \frac {e^u-1}u e^udu=- \int_0 ^{+ \infty } \frac {e^{-2s}-e^{-s}}sds= \ln\frac 21= \ln 2,$$ ya que reconocemos un Frullani tipo integral.