Comprender si$\sin x = t$ luego$\cos x dx = dt$

Question

Hola, necesito ayuda para entender esto:

si$\sin x = t$ luego$\cos x dx = dt$.

Mi libro de matemática utiliza principalmente la notación de Lagrange (primo) y creo que es posible que no haya captado por completo la forma$\frac{dx}{dy}$ de escribir y calcular la derivada de una función, ya que estoy teniendo dificultades para comprender realmente la afirmación anterior. .

Si alguien puede dar una explicación sobre cómo funciona esta lógica, estaría más que feliz :)

¡Gracias!

Answer 1

Deje $y=f(x)$ ser una función real. Si $f(x)$ es diferenciable en a $x_0$, entonces la expresión $$dy=f'(x_0)dx$$ is called the differential of $f$ at $x_0$. O el uso de la de Leibniz, la notación de los derivados

$$dy=\left. \frac{df}{dx}\right\vert _{x_{0}}\; dx$$

Para un genérico $x$, por lo tanto tenemos

$$dy=f'(x)dx=\frac{df}{dx} dx$$

En la foto de abajo esta ecuación en $dx,dy$ representa la línea tangente a la gráfica de $f(x)$ $x_0$ en la traducción de un sistema de coordenadas $dx,dy$. Tanto en $dy$ $dx$ son interpretados como infinitesimals. El diferencial de $dy$ es de aproximadamente el cambio de $y$ al $x$ cambios arbitrarios en pequeña cantidad $dx$.

En el presente caso tenemos que la función de $t=f(x)=\sin x$, cuya derivada es $$t^{\prime }=f^{\prime }(x)=\frac{df}{dx}=\cos x.$$ So, the diferential $dt$ es

$$dt=f^{\prime }(x)dx=\frac{df}{dx}dx=\cos x\;dx.$$

Más información en la respuesta a la pregunta ¿Qué es, cómo se utiliza, y ¿por qué el uso de los diferenciales? ¿Cuáles son sus usos prácticos?

Answer 2

Si$t=\sin x$ entonces$t$ es una función de$x$, entonces$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\cos x$ y, por lo tanto,$\mathrm{d}t=\cos x\mathrm{d}x$.