Prueba

Question

Cómo probar que$$\pi=2\sum_{n=0}^{\infty} \arctan \frac{1}{F_{2n+1}}$ $ Donde$F_{n}$ es el Número de Fibonacci.

Answer 1

El objetivo es escribir$\arctan\left(\dfrac1{F_{2n+1}}\right)$ como$\arctan(a_{n+1}) - \arctan(a_{n})$. Esto significa que necesitamos$$\dfrac{a_{n+1}-a_n}{1+a_na_{n+1}} = \dfrac1{F_{2n+1}}$ $ Recordemos que de Cassini / identidad catalana tenemos$$F_{2n+1}^2 = 1+F_{2n+2}F_{2n}$ $ Por lo tanto, dejamos$a_n = F_{2n}$. Entonces tenemos$$\dfrac{a_{n+1}-a_n}{1+a_na_{n+1}} = \dfrac{F_{2n+2}-F_{2n}}{1+F_{2n+2}F_{2n}} = \dfrac{F_{2n+1}}{F_{2n+1}^2} = \dfrac1{F_{2n+1}}$ $. Por lo tanto, tenemos$$\arctan\left(\dfrac1{F_{2n+1}}\right) = \arctan(F_{2n+2})-\arctan(F_{2n})$ $. Confío en que puede finalizar desde aquí.

Por lo tanto, tenemos$$\sum_{n=0}^m \arctan\left(\dfrac1{F_{2n+1}}\right) = \arctan(F_{2m+2}) \implies \sum_{n=0}^{\infty} \arctan\left(\dfrac1{F_{2n+1}}\right) = \lim_{m \to \infty}\arctan(F_{2m+2}) = \dfrac{\pi}2$ $