En la torre de poder$x^{x^{x^{x\cdots}}}$ donde hay una pila infinita de$x$, ¿cuál es el número convergente máximo? Sé la respuesta jugando con la forma$x^y=y$ y usando Mathematica, pero no sé cómo resolver esto a mano.
Respuestas
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Fijar un $x > 0$. Desde el mapa de $a \mapsto x^a$ es continua, sabemos que si la torre infinita $x^{x^{x^\cdots}}$ converge a algún límite $y$$x^y = y$, lo que implica $x = y^{1/y}$. Elementales de cálculo muestra que el valor máximo posible de $y^{1/y}$ se produce en $y = e$, por lo que es imposible para la torre infinita converge a menos $x \le e^{1/e}$.
Queda por mostrar que la secuencia converge para $x = e^{1/e}$. Para probar esto sólo necesitamos establecer la desigualdad de $1 < y \le x^y \le e$ cualquier $y$ en el rango $1 < y \le e$. A continuación, una simple inducción se demuestra que la secuencia $x, x^x, x^{x^x}, \ldots$ es creciente y acotada, por lo tanto convergente. Finalmente, la desigualdad es fácil demostrar utilizar el mencionado cálculo que muestra $e^{1/e}$ es el máximo única de la función de $y^{1/y}$.
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Ejemplo 4 de la página de la Wikipedia sobre la función W de Lambert dice cómo solucionar $x^y=y=x^{x^{x^{x\cdots}}}$ $y$ usando la función: $$x=y^{\frac1y}$$ $$\frac1x=y^{-\frac1y}=\left(\frac1y\right)^{\frac1y}$$ $$-\ln x=\frac1y\cdot\ln\frac1y=\ln\frac1y\cdot e^{\ln\frac1y}$$ $$W(-\ln x)=\ln\frac1y$$ $$\frac1y=e^{W(-\ln x)}=\frac{-\ln x}{W(-\ln x)}$$ $$y=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}$$ El mayor valor posible de $x$ que harán de esta expresión para $y$ definida sobre los reales satisface $-\ln x=-\frac1e$, donde el lado derecho es el límite inferior de la dominio de los verdaderos valores de Lambert, W. por lo Tanto el máximo convergente valor de $x$ es $$e^{\frac1e}=1.444667861\dots$$
