Dé un ejemplo de una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que es continua sólo en $0$ .

Question

No conozco ningún ejemplo. Preguntaré en caso de duda de las pruebas aportadas ¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

Dejemos que $g(x)=1$ si $x$ es racional, y $0$ si $x$ es irracional. Sea $f(x)=xg(x)$ .

Answer 2

$$ F(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x,& \mbox{if} & x \in \mathbb{Q}\\ -x , & \mbox{if} & x \notin \mathbb{Q} \\ \end{array} \right. $$

$|x-0| < \varepsilon \Rightarrow |f(x) - f(0)| = |x| <\varepsilon$ . Si $x_0 > 0$ . Hay $x \notin \mathbb{Q}$ suficientemente cerca $x_0$ tal que $f(x) = -x$ está lo suficientemente cerca de $-x_0$ . Por lo tanto, no se acercan lo suficiente a $f(x_0) = x_0$ .

Answer 3

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} x^{2} &\mbox{ if $x$ is rational} \\ -x^{2} &\mbox{ otherwise} \end{array} \right. $$