Es $[0, 1) \times (0, 1)$ homeomorfo a $(0, 1) × (0, 1)$ ?

Question

Sé cómo mostrar $[0,1] \times [0,1]$ no es homeomorfo a $(0,1) \times (0,1)$ por un argumento de compacidad. ¿Existe un argumento que demuestre $[0,1) \times (0,1)$ no es homeomorfo a $(0,1) \times (0,1)$ ? Si no es así, ¿cuál es la mejor manera de demostrar que no son homeomórficos?

Answer 1

En ambos espacios cada punto tiene una base local formada por entornos abiertos simplemente conectados. En este último espacio, sacar el punto de esos entornos simplemente conectados siempre conduce a un conjunto que ya no es simplemente conectado. En el primer espacio existen puntos (que podríamos llamar "frontera" si no fuera un término tan cargado en un curso de topología) en los que al quitar el punto del entorno abierto simplemente conectado se obtiene un conjunto simplemente conectado.

Pensándolo bien, en el primer espacio existen puntos cuyos complementos están simplemente conectados. No así en el segundo.

Answer 2

SUGERENCIA:

Considere la $1$ compactación de puntos de cada espacio. Para $[0,1)\times (0,1)$ es el disco cerrado, para $(0,1) \times (0,1)$ es la esfera.