Prueba

Question

Tienen algunos de no-null$\vec{a}$$\vec{b}$.

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Estoy tratando de demostrar esta fue en vano:

$$||\vec{a}+\vec{b}|| = ||\vec{a}-\vec{b}|| \iff \vec{a} \perp \vec{b}$$

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Si empezamos con

$$||\vec{a}+\vec{b}|| = ||\vec{a}-\vec{b}|| \implies \vec{a} \perp \vec{b}$$

Nuestra hipótesis es

$$||\vec{a}+\vec{b}|| = ||\vec{a}-\vec{b}||$$

Que nos dice que tanto en horizontal lados de este triángulo tienen la misma longitud, por lo que tenemos un triángulo isósceles. No está seguro de qué hacer con eso.

De todos modos, la hipótesis es equivalente a

$$\sqrt{(\vec{a} + \vec{b})\cdot (\vec{a} + \vec{b})} = \sqrt{(\vec{a} - \vec{b})\cdot (\vec{a} - \vec{b})}$$

Yo no puedo hacer mucho de eso.

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Una pista para empezar a abordar este problema sería apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ || \ vec {a} + \ vec {b} || ^ 2 - || \ vec {a} - \ vec {b} || ^ 2 = 4 \ vec {a} \ cdot \ vec {b} $$ y tu conclusión sigue.

Answer 2

Sugerencia: tomar cuadrados y usar$||u+v||^2=||u||^2+||v||^2+2(u|v)$

Answer 3

Si cuadras ambos lados tenemos:

ps

así que expandiendo y eliminando términos iguales obtenemos

ps

Answer 4

La forma en que resolvería esto sería cuadrando (como las otras respuestas).

Sin embargo, si quieres continuar con tu pensamiento geométrico, puedes ver que los 2 triángulos pequeños tienen TODOS los lados iguales:

• $||\vec{a}+\vec{b}|| = ||\vec{a}-\vec{b}||$
• $||\vec{b}|| = ||-\vec{b}||$
• $||\vec{a}|| = ||\vec{a}||$

Si 2 triángulos tienen 3 lados iguales, entonces son iguales.

Como los 2 triángulos son iguales, también lo son sus ángulos. Asi que, $\vec{a} \perp \vec{b}$

Answer 5

$||\vec{a} + \vec{b}||$ y$||\vec{a} - \vec{b}||$ se pueden interpretar como la longitud de las diagonales más largas y más cortas de un paralelogramo cuyos lados son$||\vec{a}||$ y$||\vec{b}||$. Entonces, si son iguales, el paralelogramo se convierte en un rectángulo, por lo que el ángulo entre$\vec{a}$ y$\vec{b}$ debe ser un ángulo recto. Por lo tanto:$\vec{a} \perp \vec{b}$.