Definiendo los focos de la ecuación de la elipse "inclinada"

Question

¿Cómo definir las coordenadas de los focos ($F_1, F_2$) de la elipse inclinada $x^2 + 4xy + 9y^2 = 9$?

Answer 1

Su elipse está centrada en el origen, por lo tanto, para encontrar sus focos es suficiente encontrar sus vértices, o la dirección de su eje. Para hacer esto, podemos calcular los puntos estacionarios de la forma cuadrática $q(x, y) = x^2 + 4xy + 9y^2$ bajo la restricción $x^2 + y^2 = 1$ a través del método de los multiplicadores de Lagrange. $\nabla q = 2\lambda(x, y)$ nos lleva al sistema $$\left\{\begin{eqnarray*}x+2y &=& \lambda x \\ 2x+9y&=&\lambda y \end{eqnarray*} \right.\tag{1}$$ por lo tanto, los valores de $\lambda$ asociados con los puntos estacionarios son los eigenvalores de la matriz $$\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} \tag{2}$$ es decir, $5\pm 2\sqrt{5}$, y $(1)$ nos dice que las direcciones de los ejes son $(1, 2+\sqrt{5})$ para el eje mayor y $(1, 2-\sqrt{5})$ para el eje menor. Se sigue que un vértice en el eje menor se da por $$ V_m = \left(3\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \tag{3}$$ y un vértice en el eje mayor se da por: $$ V_M = \left(3\cdot\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{10}},-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \tag{4}$$ entonces: $$ a^2=\|V_M\|^2 = 3+\frac{6}{\sqrt{5}},\qquad b^2 = \|V_m\|^2 = 3-\frac{6}{\sqrt{5}} \tag{5} $$ y $c^2 = a^2-b^2 = \frac{12}{\sqrt{5}}. Por último, $$ F_1, F_2 = \pm \frac{c}{a}V_M\tag{6} $$ por lo tanto: $$\boxed{ F_1, F_2 = \color{red}{\left(\pm 3\sqrt{\frac{2}{5}(\sqrt{5}+2)},\mp 3\sqrt{\frac{2}{5}(\sqrt{5}-2)}\right)}} \tag{7} $$

Answer 2

$x^2 + 4 x y + 9 y^2 = 9$ o $\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}=9$

Rotemos según la teoría estándar. Los eigenvalores son $\lambda=5\pm 2\sqrt{5}$ y $P=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{10+4\sqrt{5}}}&-\frac1{\sqrt{10-4\sqrt{5}}}\\\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{10+4\sqrt{5}}}&\frac{-2+\sqrt{5}}{\sqrt{10-4\sqrt{5}}}\end{pmatrix}$ de manera que ${\bf x'}^tP^tAP{\bf x'}=\begin{pmatrix}x' &y'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5-2\sqrt{5}&0\\0&5+2\sqrt{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=9$, es decir $\frac{x'^2}{\frac{9}{5-2\sqrt{5}}}+\frac{y'^2}{\frac{9}{5+2\sqrt{5}}}=1$ lo que hace que el eje mayor sea $a=\frac{3}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$ y el eje menor $b=\frac{3}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}$. La distancia desde el centro $(0,0)$ a los focos es $c=\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{ \frac{9}{5-2\sqrt{5}}-\frac{9}{5+2\sqrt{5}}}=\frac{6}{\sqrt[4]{5}}$. Ahora simplemente transformamos de vuelta $(0,\pm \frac{6}{\sqrt[4]{5}})$: $\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{10+4\sqrt{5}}}&-\frac1{\sqrt{10-4\sqrt{5}}}\\\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{10+4\sqrt{5}}}&\frac{-2+\sqrt{5}}{\sqrt{10-4\sqrt{5}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\\pm\frac{6}{\sqrt[4]{5}}\end{pmatrix}=(\mp\frac{6}{\sqrt[4]{5}\sqrt{10-4\sqrt{5}}},\pm\frac{6(-2+\sqrt{5})}{\sqrt[4]{5}\sqrt{10-4\sqrt{5}}})\approx(\mp 3.905,\pm 0.922)$, que son iguales a los de Jack.