Intersección de 8 esferas: encuentra el volumen

Question

Desde hace mucho tiempo, recuerdo un rompecabezas pidiendo la zona común disponible para cuatro vacas: cada vaca está conectado a una esquina diferente de un cuadrado con una cuerda que tiene la misma longitud de los lados de la plaza.

Uno de varios "vaca problemas" y, en este caso, es sólo la zona de intersección de los cuatro círculos de unidad, con centros en las cuatro esquinas de una unidad cuadrada. A través de la geometría o de cálculo, el área se encuentra a $1+\pi/3-\sqrt{3}$.

La de mayores dimensiones analógico podría ser la pregunta por el volumen de la intersección de las ocho de la unidad de las esferas, con centros en los ocho vértices de un cubo unitario. Se podría describir como la "zona de exclusión aérea", de ocho moscas, que se adjunta a... etc.

Geometría-en cuanto a que no es tan simple boceto/imaginar el sólido en cuestión y el cálculo-sabio, no es tan simple para configurar el derecho integral. Al menos a mí no, ¿alguna idea? O se trata de un problema conocido, si alguien tiene una referencia?

Adición: y yo creo que se podría incluso intentar generalizar esto para el volumen de la intersección de hyperspheres en los vértices de un hipercubo, pero me gustaría ya estar feliz con alguna entrada en el 3D-caso :-).

Answer 1

Por supuesto, debería ser posible hacer esto analíticamente, pero vamos a buscar una respuesta por parte de la simulación. En R, podemos obtener la respuesta a la plaza de la cuestión de la siguiente forma:

set.seed(1)
n = 10^8
x = runif(n, 0, 1)
y = runif(n, 0, 1)
d1 = x^2+y^2
d2 = (1-x)^2+y^2
d3 = x^2+(1-y)^2
d4 = (1-x)^2+(1-y)^2
sum(d1<1 & d2<1 & d3<1 & d4<1)/n

x y y son vectores de $10^8$ puntos al azar en la unidad de la plaza; d1 es el vector de los cuadrados de las distancias a (0, 0), d2 el vector de los cuadrados de las distancias a (1, 0), y así sucesivamente. El final de la línea sumas el número de puntos de referencia para que todos estos son de menos de 1 y se divide por el número total de puntos. (Me tome el cuadrado de la distancia para no tener que encontrar raíces cuadradas).

Esto devuelve 0.3150778. A la misma precisión, $1 + \pi/3 - \sqrt{3} = 0.3151467$; por lo tanto el enfoque general que se comprueba.

Ahora vamos paso a tres dimensiones:

set.seed(1)
n = 10^8
x = runif(n, 0, 1)
y = runif(n, 0, 1)
z = runif(n, 0, 1)
d1 = (x^2+y^2+z^2)
d2 = ((1-x)^2+y^2+z^2)
d3 = (x^2+(1-y)^2+z^2)
d4 = ((1-x)^2+(1-y)^2+z^2)
d5 = (x^2+y^2+(1-z)^2)
d6 = ((1-x)^2+y^2+(1-z)^2)
d7 = (x^2+(1-y)^2+(1-z)^2)
d8 = ((1-x)^2+(1-y)^2+(1-z)^2)
sum(d1<1 & d2<1 & d3<1 & d4<1 & d5<1 & d6<1 & d7<1 & d8<1)/n

Tenemos mucho menor respuesta: 0.01520354. Esta debe ser una precisión de cuatro decimales o así, dada la precisión de la simulación.

Como resultado, estos son los dos únicos casos en los que su problema tiene una respuesta trivial! En n dimensiones, la distancia entre dos esquinas opuestas de la unidad de $n$-cubo, decir $(0, 0, \ldots, 0)$$(1, 1, \ldots, 1)$$\sqrt{n}$. Si $n \ge 4$, a continuación, esta distancia es de al menos 2. Así, en cuatro dimensiones en el centro del cubo es el único punto que está a una distancia de 1 o menos de todos los rincones; en cinco o más dimensiones no existen tales puntos.