Homología y (co) Límites

Question

He mirado en la BMV y en línea sólo para encontrar dispersos por los resultados, que me confundan. Quiero entender cómo homología se comporta con (co)límites. Quiero saber, en particular, acerca de la homología singular, y en general sobre la homología de las teorías.

1. Hace singular homología conmuta con arbitraria colimits? Donde puedo encontrar la prueba de esto? Bajo qué condiciones se comporta bien con los límites?
2. En Un breve Curso de Topología Algebraica, el autor demuestra que el uso de la aditividad, la debilidad de la equivalencia, y MVS axiomas que homología conserva directa límites. A menos que me equivoco, preservando directa límites es equivalente a la preservación de filtrado colimits. Es esto correcto? Hay una sencilla prueba para Mayo del resultado?

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Añadió: En particular, estoy confundido por la respuesta a esta pregunta según la cual homología conserva todos los tipos de colimits.

Answer 1

Singular homología ya no conmuta con pushouts. Un pushout de espacios no dar un pushout de homología de grupos, pero en cambio da (tal vez en virtud de la amabilidad condiciones) una larga secuencia exacta. Para un ejemplo claro de considerar el pushout de

$$D^2 \leftarrow S^1 \rightarrow D^2$$

que es $S^2$. Esto no inducir un pushout en $H_2$.

Singular homología también no conmuta con los productos. (Tenga en cuenta que el tensor de producto no es el producto en la categoría de abelian grupos, o graduales de abelian grupos, por lo que incluso si estamos trabajando sobre un campo de la Kunneth fórmula no es una respuesta a este reclamo.)

El primer hecho es, en cierto sentido, un reflejo de un fracaso adecuado, más categórica. Hay una descripción abstracta de lo que significa para el cálculo de la homología (no la homología de grupos, pero la "homología") de un espacio, es decir, tensoring con algunos espectro, y esta construcción conserva todos los homotopy colimits (de hecho es una izquierda adjunto en un mayor sentido categórico). Es muy natural pensar en homotopy colimits en lugar de colimits porque la toma de homología singular es homotopy-invariante, pero teniendo colimits no es, teniendo homotopy colimits es.

Entonces usted tiene que averiguar cómo calcular homotopy colimits de los espacios, y también averiguar lo que es un homotopy colimit de los espectros de compra una vez que pase a homotopy grupos (por ejemplo, el exacto secuencias, o más generalmente espectral de secuencias).

Answer 2

Esto no es exactamente una respuesta a su pregunta, excepto que es pertinente para la cuestión de homotopical invariantes de la preservación de al menos algunos colimits. Por ejemplo, el grupo fundamental de la base de espacios no conserva todos los colimits: la costumbre de Seifert-van Kampen Teorema determina el grupo fundamental de un sindicato $X=U \cup V$ de la base de los espacios de si $U,V$ están abiertos y $U \cap V$ es la ruta de acceso conectado.

Una generalización de este teorema, que data de 1981, y que también implica condiciones de conectividad, se da en el 2011 libro Nonabelian Topología Algebraica, y preocupaciones, en parte, una homotopically definido functor $\Pi$ a partir de filtrados espacios para "cruzado complejos", que son un tipo de parcialmente nonabelian de la cadena de complejos con los operadores. Este trabajo no implican un aporte de singular homología, aunque la relación a que es de interés.

Un antecedente de este trabajo se da en este mes de diciembre de 2014 presentación, que comienza con una lista de cinco "Anomalías en topología algebraica".

También sabemos que la homología de grupos como functors de los complejos de la cadena para decir gradual abelian grupos de no preservar colimits.