Actualmente estoy en el último de los capítulos en Liu libro y estoy tratando de resolver el siguiente problema, que es el primer paso en la demostración de que una reducción de ciertas mapa está bien definido: Deje $X \rightarrow T$ ser un piso adecuado de morfismos regular localmente Noetherian esquema de $T$. Supongamos que $T$ es irreductible con el genérico punto de $\xi$. Deje $x \in X_\xi$ ser un punto cerrado y $D$ su Zariski de cierre en X, dotado con la reducción cerrada subscheme estructura.
a) Mostrar que $D$ es finito $T$.
b) Si $x$ es racional sobre $k(\xi)$, muestran que $D \rightarrow T$ es un isomorfismo. Así se puede definir una reducción mapa de $X_\xi(k(\xi)) \rightarrow X_t(k(t))$ por cada $t \in T$.
Aquí está mi trabajo hasta ahora, sólo he hecho algunos trabajos en una), pero no parecen llegar a todo el camino a través. ¿Qué sería de demostrar que D es finita sobre T es que es cuasi-finito, puesto que D es correcta sobre T y por Zariski principal del teorema adecuada + cuasi-finito implica finito. Sin embargo, aquí es donde me quedo atascado. Veo que $X$ (universal) de la catenaria, y así es T. supongo que a partir de esto, uno debe ser capaz de deducir que $\dim D \cap X_t = 0$ por cada $t \in T$.Así, traté de usar las siguientes identidades, que sigue de X de la catenaria: $$dim X_t = \text{codim}(D \cap X_t, X_t)+ \dim(D \cap X_t)$$ y $\dim D = \text{codim}(D \cap X_t, D)+\dim(D \cap X_t).$$
Yo, a continuación, pruebe a utilizar ese $X \rightarrow T$ es plana, pero no hubo suerte, para mostrar que $\dim (D \cap X_t) = 0$. Estoy pensando completamente mal aquí? Agradecería cualquier sugerencia de a $a)$ o $b)$ (o si usted no puede ver ningún indicio, una respuesta es OK, aunque yo prefiero una sugerencia).
