¿Por qué los elementos de la misma clase de conjugación tienden a tener propiedades similares?

Question

Estoy tratando de desarrollar una comprensión intuitiva de por qué los elementos de la misma clase conjugacy tienden a tener propiedades similares. Por ejemplo, las rotaciones de formar una clase conjugacy en el diedro de los grupos, así como los flips. Es claro que en algunos casos particulares, ¿por qué tienen propiedades similares, pero una comprensión general me escapa. Similar matrices, por ejemplo, tienen propiedades similares porque son realmente la misma matriz, pero bajo una base diferente. He pensado que puede ser debido a que los elementos de la misma clase conjugacy deben tener el mismo orden, pero no estoy seguro de que esto es suficiente, ya que algunos elementos de la misma orden no siempre tienen propiedades similares.

Answer 1

Es porque hay un automorfismo del grupo llevando uno al otro. Si$y=gxg^{-1}$ en un grupo$G$, entonces$z\mapsto gzg^{-1}$ es un automorfismo de$G$ tomando$x$ a$y$ (un automorfismo interno ).

Answer 2

La mayoría de los casos de los verbos puede ser considerado un "cambio de base" de la transformación, de forma análoga a lo que usted está familiarizado con el de álgebra lineal.

Para un ejemplo de permutaciones en el grupo simétrico, si $\sigma = (1\ 3\ 4)$$\tau = (1\ 5\ 2\ 3)$,$\sigma^{-1}\tau\sigma = (\sigma(1)\ \sigma(5)\ \sigma(2)\ \sigma(3)) = (3\ 5\ 2\ 1)$; esencialmente, de re-etiquetar los elementos $\{1,2,3,4\}$ se actuó de acuerdo a $\tau$, realizar la permutación $\sigma$, y, a continuación, volver a la original etiquetado mediante $\tau^{-1}$, exactamente análoga a la de cambio de base de la situación en álgebra lineal. En el diedro de grupos, algo similar sucede para volver a etiquetar (y "unrelabeling") los vértices de la $n$-gon-siempre que usted use algunos elementos de la diedro grupo para hacer el reetiquetado!

Ya que cualquier grupo puede ser considerado como una permutación de grupo (es decir, un subgrupo de algún grupo simétrico), este tipo de cosas sucede en general. De hecho, permutaciones, puede ser representado como permutación de matrices, por lo que podemos representar a los grupos a través de los grupos de matrices, así. Luego de la conjugación es el conocido cambio de base de la transformación de álgebra lineal, con la salvedad de que sólo se puede conjugar por las matrices que corresponden a los elementos del grupo (como volver a etiquetar los vértices de la $n$-gon, en el diedro caso del grupo), y no de cualquier matriz.