Trig de sustitución$\int x^3 \sqrt{1-x^2} dx$

Question

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$$\int x^3 \sqrt{1-x^2} dx$

$x = \sin \theta $

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$dx = \cos \theta d \theta$

$$\int \sin^3 \theta d \theta$

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Con el truco del triángulo obtengo:

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Esto está mal, pero no estoy seguro de dónde me equivoqué.

Answer 1

Deje$x=\sin{\theta}$, luego$dx = \cos{\theta} \, d\theta$; la integral se convierte

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similar

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Restando los dos, obtengo

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Luego usa$$\int d\theta \, \sin^3{\theta} \, \cos^2{\theta} = \int d\theta \, \sin^3{\theta} -\int d\theta \, \sin^5{\theta} $ y obtén

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EDITAR

Veo que la respuesta se puede simplificar aún más

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Answer 2

¿Qué pasa con la integración por partes? Se ve muy simple:

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y por lo tanto

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Nota: Usamos más de lo siguiente:

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Answer 3

Puede evitar todos los trig en una sustitución mucho más sencilla:$$u^2=1-x^2$$so: $$x^2=1-u^2$$ $$ u= \sqrt{1-x^2}$$ $$2u du=-2xdx$ $

Reescribiendo la integral, factorizando uno$x$%:$$\int x^3 \sqrt{1-x^2} dx=\int x^2 \sqrt{1-x^2} xdx=-\int (1-u^2) u^2 du$$Multiply out the integrand, integrate with the power formula term by term and substitute back for $ x $ ...