¿Cómo abordar integrales como una función?

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta que involucran integrales y no puede conseguir bastante qué debo hacer:

$$f(x) = \int_{2x}^{x^2}\root 3\of{\cos z}~dz$$ $$f'(x) =\ ?$$

¿Cómo debo plantear tales funciones integradas? ¿Soy yo sólo exceso que complica una cosa simple?

Answer 1

Para este problema, que en última instancia el uso de una versión del Teorema Fundamental del Cálculo: Si $f$ es continua, entonces la función de $F$ definido por $F(x)=\int_a^x f(z)\,dz$ es diferenciable y $F'(x)=f(x)$.

Así, por ejemplo, para$F(x)=\int_0^x\root3\of{\cos z}\,dz$,$F'(x)=\root3\of{\cos x}$.

Uno puede combinar esto con la regla de la cadena, cuando se aplica, para diferenciar una función cuyo dominio es de la forma $F(x)=\int_a^{g(x)} f(z)\,dz$. En este sentido, reconocemos que $F$ es una composición de la forma$F=G\circ g$$G(x)=\int_a^x f(z)\,dz$. La derivada es $F'(x)=\bigl[ G(g(x))\bigr]'=G'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x)$.

Por ejemplo, para$F(x)=\int_0^{x^2}\root3\of{\cos z}\,dz$,$F'(x)=\root3\of{\cos x^2}\cdot(x^2)'=2x\root3\of{\cos x^2} $.

Ahora a resolver su problema adecuado y tomar ventaja de estas reglas, que acaba de "dividir la integral": $$\etiqueta{1} \int_{2x}^{x^2}\root3\{\cos z}\,dz= \int_{2x}^{0}\root3\{\cos z}\,dz+ \int_{0}^{x^2}\root3\{\cos z}\,dz. $$ Pero espera! Sólo podemos utilizar la mencionada diferenciación de las reglas para las funciones definidas por una integral cuando se trata de la parte superior del límite de integración que es la variable. La primera integral en el lado derecho de la $(1)$ no satisface este. Las cosas se pueden remediar fácilmente, aunque; escribir el lado derecho de la $(1)$ como: $$ -\int_{0}^{2x}\root3\{\cos z}\,dz+ \int_{0}^{x^2}\root3\{\cos z}\,dz; $$ y ahora las cosas están configurados para utilizar nuestra regla (por supuesto, también podrás utilizar la regla de $[cf+g]'=cf'+g'$).

Answer 2

No darle distancia completamente. Usando el teorema Fundamental del cálculo, $f(x) = C(x^2)-C(2x)$, donde $C(x)$ es el anti-derivado del integrando. Ahora, utilizar la regla de la cadena para calcular $f'(x)$, que dependerá sólo de la $C'(x)$, que es el integrando, evaluado en $x$.

Answer 3

\begin{eqnarray} f'(x)&=&(x^2)'(\sqrt[s]{\cos z})|_{z=x^2}-(2x)'(\sqrt[s]{\cos z})|_{z=2x}\cr &=&2x\sqrt[s]{\cos x^2}-2\sqrt[s]{\cos 2x} \end{eqnarray}

Answer 4

En general, para distinguir una integral de la forma:

$$\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(z)dz$$

Utilizamos la regla de Leibniz. Primero asumir que $F(x)$ es el anti-derivado de $f(x)$. Es $F'(x) = f(x)$. Entonces sigue que,

$$\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(z)dz = F(z)|_{z=g_2(x)} - F(z)|_{z=g_1(x)} = F(g_2(x)) - F(g_1(x))$$

Ahora si diferenciamos este resultado mediante la regla de la cadena tenemos:

$$\frac{d}{dx}\left(F(g_2(x)) - F(g_1(x))\right) = f(g_2(x))g_2'(x) - f(g_1(x))g_1'(x).$$

Tenga en cuenta que no es necesario encontrar el % derivado de la $F()$.

Answer 5

Usando la regla de Leibnitz de la diferenciación de integrales, que indica eso si\begin{align} f(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(y) \ dy, \end {Alinee el} entonces\begin{align} f^{\prime}(x) = g(b(x)) b^{\prime}(x) - g(a(x)) a^{\prime}(x). \end{align} por lo tanto, su problema $a^{\prime}(x) = 2$ y $b^{\prime}(x) = 2x$ y, por tanto,\begin{align} f^{\prime}(x) = \int_{2x}^{x^2} \sqrt[3]{\cos z} dz = \sqrt[3]{\cos (x^2)} (2 x) - \sqrt[3]{\cos (2x)} (2). \end {alinee el}