Si para todos $x,y \in G$ , uno tiene $(xy)y^{-1}=y^{-1}(yx)=x$ entonces $G$ es un tipo especial de cuasigrupo que llamaré cuasigrupo SIP ("cuasigrupo de propiedad inversa simétrica"). Sin embargo, hay cuasigrupos sin tales funciones inversas; doy una familia infinita de ejemplos debidos a Belousov que sí tienen una propiedad inversa (pero no simétrica).
Si se asume una identidad, entonces se obtienen exactamente los bucles IP ("bucles de propiedad inversa") que están razonablemente bien estudiados.
Todos los cuasigrupos SIP son cuasigrupos
Lema: ${(x^{-1})}^{-1}=x$ y $(xy^{-1})y = y(y^{-1}x) = x$
Prueba: [por el usuario1] $$\begin{array}{rl} (x^{-1})^{-1} &=\left((x^{-1})^{-1}x\right)x^{-1} \\ &=\left((x^{-1})^{-1}\left(x^{-1}(xx)\right)\right)x^{-1} \\ &=(xx)x^{-1} \\ &=x \end{array}$$ Entonces, sustituyendo $y^{-1}$ en lugar de $y$ en los axiomas definitorios se obtiene $x = (xy^{-1})(y^{-1})^{-1} = (xy^{-1}) y$ y de forma similar en el otro lado. $\square$
Propuesta: $G$ es un cuasi-grupo.
Prueba: [por Berci] Tenemos que mostrar $ax=b$ y $ya=b$ tienen soluciones únicas $x,y \in G$ . Sin embargo, los axiomas definitorios de un cuasigrupo SIP dan que $x=a^{-1}(ax) = a^{-1}(b)$ y $y=(ya)a^{-1} = (b)a^{-1}$ Así que esas son las únicas soluciones posibles. Como $a(a^{-1}b) = b$ y $(ba^{-1})a=b$ por el lema, estas son de hecho soluciones, y $G$ es un cuasi-grupo. $\square$
Un tipo especial de cuasigrupo son los IP-quasigroup ("cuasigrupos de propiedad inversa"). Se trata de los cuasigrupos $G$ con funciones $\lambda:G \to G$ y $\rho:G \to G$ tal que $x^\lambda (xy) = (yx) {}^\rho x = y$ . Un bucle con estas dos propiedades se denomina Bucle IP y cada bucle IP satisface $x^\lambda = {}^\rho x$ .
Propuesta: Cada cuasigrupo SIP es un cuasigrupo IP.
Prueba: Simplemente tome $x^\lambda = {}^\rho x = x^{-1}$ .
Pero no todos los cuasigrupos son cuasigrupos SIP
Damos una familia de ejemplos de cuasigrupos IP que no son cuasigrupos SIP.
Dejemos que $A$ sea un grupo abeliano que tenga un elemento de orden no 1 ni 2, y defina una multiplicación en $G=A \times A$ por $(a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2) = (a_1 + a_2, b_2-b_1)$ . $G$ es un cuasi-grupo (pero no un bucle) con propiedades inversas a la izquierda y a la derecha: defina $x^\lambda = (-a,-b)$ y ${}^\rho x =(-a,b)$ para que $x^\lambda (xy) = (yx) {}^\rho x = y$ .
Verificaciones:
Prueba: Dejemos que $a,b,c,d \in A$ y tratamos de resolver de forma única $(a,b) \cdot(x,y) = (c,d)$ . El lado izquierdo es $(a+x,y-b)$ por lo que la solución única es $x=c-a$ y $y=b+d$ . Por lo tanto, $G$ es un cuasi-grupo. $\square$
Prueba: Supongamos por contradicción que $(x,y)$ es una identidad. Entonces $(a,b) \cdot (x,y) = (a,b)$ implica $x=0$ , $y=2b$ pero esto depende de $b$ Así que $(x,y)$ no es una identidad. $\square$
- $G$ satisface las propiedades inversas a la izquierda y a la derecha, por lo que es un cuasigrupo IP.
Prueba: Estos son sólo cálculos: $$(-a,-b) \cdot ( (a,b) \cdot (c,d) ) = (-a,-b) \cdot (a+c,d-b) = (-a+a+c,d-b-(-b)) = (c,d)$$ y $$((c,d) \cdot (a,b)) \cdot(-a,b) = (c+a,b-d) \cdot (-a,b) = (c+a-a,b-(b-d)) =(c,d). \square$$
- $G$ no satisface los axiomas de las preguntas originales para cualquier elección de $a^{-1}$ .
Prueba: Los inversos izquierdo y derecho se determinaron de forma única. Conjunto $(a,b)^{-1} = (x,y)$ . Entonces $(a,b)^{-1} ( (a,b) \cdot (c,d) ) = (x,y) \cdot (a+c,d-b) = (x+a+c,d-b-y)$ para que $x=-a$ y $y=-b$ . Sin embargo, $((c,d) \cdot(a,b))\cdot(x,y) = (c+a,b-d) \cdot (x,y) = (c+a+x,y-(b-d))$ para que $x=-a$ y $y=b$ . A menos que $b=-b$ , estos difieren. $\square$
- $G$ es un cuasigrupo IP que no es un cuasigrupo SIP.
Prueba: Dado que los inversos izquierdo y derecho están definidos de forma única, la única manera de que $x^{-1}$ existir es si los dos inversos están de acuerdo, pero discrepan en algún elemento $(a,b)$ con $b$ no de orden 1 o 2. $\square$
Un bucle es un cuasigrupo SIP si IP-loop
Si asumimos la existencia de una identidad, entonces los axiomas SIP se convierten en equivalentes a los axiomas del bucle IP.
Propuesta: Para los bucles $G$ , los siguientes son equivalentes: * $G$ es un cuasigrupo SIP * $G$ es un cuasigrupo IP * $G$ es un bucle IP
Prueba: Esto es simplemente porque en un bucle $x^\lambda = {}^\rho x$ para que los inversos sean automáticamente simétricos. $\square$
SIP-quasigroup que no es un bucle
Mientras que los axiomas para un cuasigrupo SIP con identidad son equivalentes a la noción estándar de "bucle IP" o "bucle con propiedades inversas a la izquierda y a la derecha", un cuasigrupo SIP no necesita tener una identidad. Por ejemplo:
$$\begin{array}{c|ccc} \times & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \end{array}$$
En este cuasi-grupo tenemos $x^2 = x$ y $xy=yx$ y $x^{-1}=x$ y $xy=z$ siempre y cuando $x,y,z$ son distintos (el llamado cuasigrupo de Steiner). Por lo tanto, satisface los axiomas del post original, pero no tiene identidad.
Frecuencia de los cuasigrupos SIP
La tabla de multiplicación de un cuasigrupo es "cuadrado latino" y si tomamos una muestra uniforme al azar de cuadrados latinos obtenemos una (entre muchas) noción de frecuencia de cuasigrupos. Aquí están las frecuencias observadas después de 10000 muestras en cada orden:
$\begin{array}{c|rrrrrrrrrr} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline Group & 100\% & 100\% & 25\% & 2\% & & & & & & \\ SIP-quasigroup & & & 25\% & 4\% & & & & & & \\ IP-quasigroup & & & 50\% & 8\% & & & & & & \\ RIP-quasigroup & & & & 44\% & 10\% & & & & & \\ quasigroup & & & & 42\% & 90\% & 100\% & 100\% & 100\% & 100\% & 100\% \\ \end{array}$
Un cuasigrupo se cuenta sólo en la primera línea que califica, de modo que "SIP-cuasigrupo" es aquí la abreviatura de "SIP-cuasigrupo que no es un grupo". "RIP-quasigroup" normalmente significa cuasigrupo con propiedad inversa a la derecha, pero lo uso como abreviatura de "cuasigrupo con propiedad inversa a la derecha o a la izquierda, pero no ambas". No informo de los porcentajes inferiores al 0,5%. En particular, los bucles que no son grupos nunca han superado la barrera del 0,5%.
Ejemplos de cuasigrupos
La Wikipedia tiene varios ejemplos de cuasigrupos, y sería bueno saber cuáles son cuasigrupos SIP. Considero grupos bajo división, cuasigrupos de Steiner y bucles de Moufang.
Propuesta: Un grupo bajo división es un cuasigrupo RIP. Es un cuasigrupo IP si es un cuasigrupo SIP si el grupo es abeliano. Es un bucle si es un bucle IP si el grupo es un grupo abeliano elemental de 2.
Prueba: Definir $g\ast h = g h^{-1}$ entonces $a \ast x = b$ tiene una solución única $x=b^{-1}a$ y $y \ast a = b$ tiene una solución única $y=ba$ Así que $(G,\ast)$ es un cuasigrupo. Supongamos que $x$ es una identidad, entonces $g = x\ast g = xg^{-1}$ implica $x=g^2$ debe ser constante (y por tanto igual a la identidad del grupo). Si $x \ast (g \ast h) = h$ y, a continuación, resolver para $x$ se obtiene $x=hgh^{-1}$ para que $(G,\ast)$ es un cuasigrupo LIP si $G$ es abeliana, y entonces $x^\lambda = x$ . Si $(h \ast g ) \ast y = h$ y, a continuación, resolver para $y$ se obtiene $y=g$ para que ${}^\rho g =g$ es siempre un inverso de la derecha. $\square$
Propuesta: Un cuasigrupo de Steiner es un cuasigrupo SIP conmutativo e idempotente que no es un bucle.
Prueba: Si $x \neq y$ entonces hay un único triple de Steiner $\{x,y,z\}$ y $xy=yx = z$ , por lo que obtenemos que $x(xy) = (yx)x = y$ desde $xz=zx=y$ . Si $x=y$ entonces $x(xx) = xx = x$ ya que los cuasigrupos de Steiner son idempotentes. Nótese que para cualquier $x$ , $xx=x$ pero que hay una $y$ con $xy=z$ y $x,y,z$ distintos, por lo que $x$ no puede ser la identidad. $\square$
Propuesta: Un bucle Moufang es un bucle IP, por lo que también es un cuasigrupo SIP.
De hecho, los bucles Moufang son exactamente los bucles que siguen siendo bucles IP incluso después de revolver las filas, las columnas y las etiquetas.
